Б). Качественные показатели обнаружения некогерентных сигналов

Напряжение на выходе идеального квадратичного сумматора можно представить в виде

для линейного сумматора

Здесь U₁, U₂,...,U_m - амплитуда первого, второго и М-го импульсов соответственно. При отсутствии сигнала эти амплитуды - независимые случайные величины, подчиняющиеся закону Релея. При наличии сигнала распределение каждой из амплитуд меняется. Зная законы распределения амплитуд, можно найти плотности вероятности P_сп(U) и P_п(U) суммарной величины U при наличии и отсутствии полезного сигнала. Интегрируя эти плотности вероятности в пределах от порогового значения U₀ до , можно перейти к условным вероятностям правильного обнаружения D и ложной тревоги F и оценить выигрыш некогерентного суммирования импульсов по сравнению с приемом одного из них. Вычисление вероятностей D и F для некогерентных сигналов - весьма трудоемкая задача. Поэтому ограничимся анализом конечных результатов.

Кривые для оценки выигрыша некогерентного суммирования нефлюктуирующей пачки с прямоугольной огибающей приведены на рис. 3.

Рис. 3.

Эти кривые построены при фиксированных значениях D=0,5 и F=10^-10 (сплошная - для линейного, пунктирная - для квадратичного суммирования). По оси ординат отложено число суммируемых импульсов М, по оси абсцисс - необходимое превышение энергии одного импульса Э_и над спектральной плотностью шума на входе устройства оптимальной обработки. Величина превышения 13,5 дБ при М=1 соответствует точке F=10^-10, D=0,5 кривой обнаружения одиночного сигнала со случайной начальной фазой. Небольшое расхождение сплошной и пунктирной кривых на рис.3а показывает, что при малом уровне ложной тревоги и большой вероятности правильного обнаружения переход от квадратичного суммирования к линейному практически не меняет порогового сигнала. Оба рассмотренных вида неоптимальной обработки хорошо аппроксимируют оптимальную обработку (где С - постоянная, зависящая от уровня помехи), соответствующую линейному суммированию при больших и квадратичному при малых уровнях сигнала. Интегрирование большого числа импульсов понижает пороговый уровень энергии каждого импульса в пачке. При переходе от одного импульса к 10 пороговый уровень снижается на 8 дБ, при переходе к 100 - на 15,5 дБ, а при переходе к 10000 импульсам в пачке - на 25,5 дБ.

На рис. 3б нанесены кривые для оценки выигрыша от некогерентного суммирования (сплошная линия) и когерентного (пунктир) для вероятностей D=0,9 и F=10^-7. Как видно из сопоставления кривых на рис. 3 требования D=0,5, F=10^-10 и D=0,9, F=10^-7 при некогерентном суммировании практически эквивалентны, т.е. имеет место почти одинаковый выигрыш в пороговой энергии импульса. Пользуясь одной из них, можно ориентировочно построить аналогичную кривую для произвольных значений D, F путем смещения ее вправо или влево относительно точки с абсциссой 13,5 дБ и ординатой М=1. Смещение должно соответствовать изменению пороговой энергии одиночного импульса в децибелах при переходе к новым значениям D и F. Аналогично можно оценить влияние дружных флюктуаций пачки при произвольном М, взяв для заданных D, F поправку на эти флюктуации из кривых обнаружения.

Представляет значительный интерес сравнение некогерентного суммирования с когерентным. Легко убедиться, что когерентное суммирование дает больший выигрыш, так как наилучшим образом использует энергию всей пачки. Поэтому при переходе, например, от одного импульса к 10 пороговая энергия каждого импульса уменьшается в 10 раз, т.е. на 10 дБ (а не на 8 дБ, как при некогерентном суммировании), при переходе к 100 импульсам - в 100 раз, т.е. на 20 дБ (а не на 15,5) и т.д. На рис. 4 построен график потерь в децибелах некогерентного суммирования (некогерентного интегрирования) по отношению к когерентному для D=0,9, F=10^-7.

При небольшом числе импульсов потери сравнительно невелики, но с увеличением числа импульсов в пачке, когда при заданных D, F и энергии пачки Э уменьшается энергия каждого импульса, они становятся значительными. Например, для М=10 потери равны всего 2 дБ, а при М=1000 потери составляют уже около 10 дБ. Тем не менее, некогерентное суммирование дает большой эффект и когда когерентное суммирование невозможно, нужно использовать некогерентное.

Таким образом, некогерентное накопление уступает по качеству когерентному, однако во многих случаях оно является либо единственно возможным, либо наиболее просто реализуемым.