3 3 .Планарность графа, теорема Эйлера о многогранниках.

Граф наз. плоским, если его ребра не пересекаются.

Граф наз. планарным, если он изоморфен плоскому графу.

Граф G1 = (V1, E1) наз. изоморфным графу G2 = (V2, E2), если существует биекция f: V1→V2 такая, что для любых вершин х, уєV1 число ребер из Е1, инцидентных этим вершинам, равно числу ребер из Е2, инцидентных вершинам f(x) и f(у).

Ex: Графы G1 и G2 изоморфны.

Плоские графы

Ех: Планарные графы

Ех: Не планарные графы

Граф G укладывается на поверхности S, если G можно изобразить на S без пересечения ребер.

Теорема: Граф укладывается на сфере тогда и только тогда, когда он планарен.

Д ок-во: Предположим, что граф G уложен на сфере S. Выберем на сфере точку N, которая не лежит ни на одном ребре графа и не совпадает с вершиной. В точке сферы, противоположной точке N, проведем касательную плоскость π. Из точки N спроектируем сферу S без точки N на плоскость π. Обозначим образ графа G через G′. Т.к. проекция явл. биекцией сферы S|{N} на плоскость π, граф G′ явл. плоским и изоморфным исходному графу G -» G - планарный граф.

Гранями плоского графа наз. мax связанные обл-ти плоскости, на которые пл-ть делится ребрами графа

Р1 = {a1,a3,a2,a4} и соединяющие их ребра.

Р2 = {a3, a4, a5, a6} и соединяющие их ребра.

Теорема:Для любого связного графа число вершин n, число ребер m, число граней r связаны соотношением: n – m + r = 2 (*)

Док-во: Пусть G – связный плоский граф, т.е. состоящий из одной компоненты связности. Предположим, что G не имеет циклов, значит G явл. деревом, т.е. обыкновенным связным граф без циклов.) => n = m + 1 и r = 1 => n – m + r = m+1-m+1 = 2.

Предположим, что граф G содержит циклы. Рассмотрим ребро е, принадлежащее циклу => ребро е не явл. мостом и принадлежит двум граням р1 и р2, одну из которых можно считать внешней. Рассмотрим граф G′ = G – е. Граф G′ - связный и плоский (по теореме: если в связном графе удалить ребро, принадлежащее циклу, то граф останется связным). При удалении ребра е грани р1 и р2 сольются в одну внешнюю грань графа G′. Остальные грани останутся без изменения => граф G′ содержит на одно ребро и одну грань меньше, чем граф G. Т.к. число вершин этих графов совпадает, то выполняется равенство:

n ′ - m′ + r′ = n – m + r => при удалении ребра левая часть рав-ва (*) не меняется. Но разрывая циклы, получаем дерево, для которого (ранее доказано) выполняется рав-во (*) => для исходного графа рав-во (*) верно.

Следствие 1: Для плоского графа, имеющего С компонент связности, выполняется рав-во: n – m + r = 1 + c

Следствие 2: Граф К5 не планарен.

Следствие 3: Граф К3,3 не планарен.

37.Разработка и оформление основных проектных документов (разрезы зданий).

Архитектурно-строительные рабочие чертежи выполняют в соответствии с требованиями ГОСТ 21.101 и ГОСТ 21.501-93(правила выполнения архитектурно-строительных чертежей) .

Разрезом называют изображение зда­ния, мысленно рассеченного вертикальной плоскостью и спроецированного на плоскость проекции, параллельную секу­щей плоскости. Если мысленно рассечь здание вертикальной секущей плоскостью и удалить его переднюю часть, а оставшуюся часть здания спроецировать прямоугольно на фронтальную плоскость проекций, то полученное на ней изображение и будет разрезом 1-1 этого здания.

Разрезы делают по наиболее важным в конструктивном или архитектурном от­ношении частям здания, по лестничной клетке, оконным и дверным проемам. Разрез здания называют поперечным, когда вертикальная секущая плоскость перпен­дикулярна продольным стенам здания, продольным, когда вертикальная секу­щая плоскость параллельна продольным стенам здания.

Направление секущей плоскости для разреза обозначают на плане первого эта­жа разомкнутой линией со стрелками на концах, показывающими направление взгляда наблюдателя. Около стрелок ставят арабские цифры, а на са­мом разрезе делают надпись по типу Раз­рез 1-1 или Разрез А-А.

При составлении разрезов здании необходимо знать, что секущие плоскости не проводит по колоннам, вдоль прогонов и балок перекрытий и по стропилам. Ко­лонны, перегородки, прогоны, балки и стропила в продольном направлении всегда показывают нерассечёнными, в по­перечном сечении эти элементы (за исключением колонн) изображают рассе­ченными.

На начальной стадии проектирования, чтобы выявить внутрен­ний вид помещения и расположение архи­тектурных элементов интерьера, составля­ют архитектурные или контурные, разрезы здания, на которых не показы­вают конструкции фундаментов, перекры­тий, стропил и других элементов, но проставляют размеры и высотные отметки, необходимые для проработки фасада.

На стадии разработки рабочих черте­жей выполняют конструктивные разрезы здания, на которых показывают конструк­тивные элементы здания и их сопряжения. В рабочих чертежах направле­ние взгляда для разрезов принимают, как правило, по плану — снизу вверх и справа налево.

Построение разреза по лестнице. Следует иметь в виду, что плоскость разреза по лестнице всегда проводится по ближайшим к наблюдателю маршам.

Линии контуров элементов конструкций в разрезе изображают сплошной толстой основной линией, видимые линии контуров, не попадающие в плоскость сечения, — сплошной тонкой линией.

На разрезы наносят:

-- оси, проходящие в характерных местах разреза и фасада, с размерами, определяющими расстояния между ними;

-- отметки, характеризующие расположение элементов несущих и ограждающих конструкций по высоте,

-- размеры и привязки по высоте проемов, отверстий, ниш и гнезд в стенах и перегородках;

-- позиция (марки) элементов здания (сооружения), не указанные на планах.

В строительных чертежах в разрезах и планах видимые линии контуров, не попадающие в плоскость сечения, выполня­ют сплошной тонкой линией.