4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Л

4

инейным уравнением (или уравнением 1-го порядка) с n неизвестными х1, х2, …,хn наз. ур-ие вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = b, где величины а1, а2,…, аn наз. коэффициентами при неизвестных, а b – свободным членом ур-ия.

Решением системы из m линейных уравнений с n неизвестными

a11x1 + a12x2 +… + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 +… + a2nxn = b2

….

am1x1 + am2x2 +… + amnxn = bm

наз. набор чисел (х₁⁰ , х₂⁰ ,..., х_п⁰ ), при подстановке кот вместо неизвестных получаются верные числовые равенства.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) состоит в применении к исходной системе элементарных преобразований с целью получения лестничной системы. Если при этом возникает ур-ие вида 0*х1+0*х2+...+0*хn=b, b≠0,то преобразование прекращается и исходная система явл.не совместимой,т.е. не имеет решений.

Сис-ма линейных ур-ий вида, где С11 ≠ 0, С22 ≠ 0, … , Crr ≠ 0, r<=n наз. лестничной

C11X1 + C12X2 + … + C1rXr + … + C1nXn = d1

C22X2 + … + C2rXr + … + C2nXn = d2……

CrrXr + … + CrnXn = dr

Теорема: если r=n, то лестничная система имеет единственное решение

Теорема: если r<n, то лестничная система имеет бесконечно много решений

Лемма: Элементарные преобразования системы линейных ур-ий сохраняют множество ее решений.

Элементарные преобразования линейных ур-ий:

1) умножение ур-ия на ненулевое число;

2) прибавление одного ур-ия к другому, умножение на некоторое число;

3) перестановка ур-ий;

4) перестановка столбцов с неизвестными;

5) вычеркивание ур-ий вида: 0*х1+0*х2+...+0*хn=0

Возможно на одном из этапов возникнет сис-ма, в которую будет входить ур-ие вида:

0х1 + 0х2 + … +0хn = b, где b ≠ 0. В этом случае это ур-ие (а значит и любая сис-ма ур-ий, включающая его) решений не имеет => исходная сис-ма несовместна => в ходе преобразований исходной сис-мы процесс прекращается и заданная сис-ма линейных ур-ий несовместна. Если таких ур-ий не возникает, то сис-ма всегда может быть приведена к лестничному виду и решена.

Рассмотрим произвольную сис-му линейных ур-ий:

A11X1 + A12X2 +… + A1nXn = B1

A21X1 + A22X2 +… + A2nXn = B2 (1)

….

Am1X1 + Am2X2 +… + AmnXn = Bm ,

в которой хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в одном из ур-ий ≠ 0. Если сис-ма содержит ур-ие 0х1 + 0х2 + … +0хn = 0 – вычеркнем его. Если же содержит ур-ие 0х1 + 0х2 + … +0хn = b и b ≠ 0, то метод Гаусса завершается и сис-ма явл. несовместной.

Предположим, что хотя бы 1 из коэффициентов при неизвестных в первом ур-ии ≠ 0. С помощью элементарных преобразований первого и второго типа добьемся, чтобы коэффициенты при х1 во всех ур-ях, начиная со второго, были равны 0.Если а21 ≠ 0, то ко второму ур-ию прибавим первое, умноженное на (-а21/а11). Получим ур-ие, у которого второй коэф-ент равен (-а21/а11*а11 + а21), т.е. этот коэф-ент = 0. Аналогично, если а31 ≠ 0, то к трктьему ур-ию прибавим первое, умноженное на (-а31/а11) и т.д. В итоге получим сис-му линейных ур-ий:

A11X1 + A12X2 + … +A1nXn = B1

A′22X2 + … + A′2nXn = B2 (2)

…….

A′q2X2 + … + A′qnXn = B′q

Количество ур-ий сис-мы (2) может быть меньше, чем у сис-мы (1) за счет вычеркивания ур-ий (т.е. q ≤ m).

Преобразуем сис-му Ур-ий (2), обведенную прямоугольником, и получим:

A11X1 + A′22X2 + A13X3 + … +A1nXn = B1

A′22X2 + A′23X3 +… + A′2nXn = B′2

A′′33X3 + … + A′′3nXn = B′′3 (3)

…….

A′′s3X3 + … + A′′snXn = B′′s

где s ≤ q, A11 ≠ 0, A′22 ≠ 0.

Проведем преобразования к сис-ме, обведенной прямоугольником в (3) и т.д.

Каждый раз преобразования применяются к сис-ме, имеющей на 1 неизвестное и хотя бы на 1 ур-ие меньше, чем предыдущая => в результате всех преобразований получится ур-ие 0Х1 + 0Х2 + … + 0Хn = b, b ≠ 0. Тогда преобразования прекращаются и исходная сис-ма явл. несовместной, либо в итоге получим лестничную сис-му.

Теорема: Система линейных ур-ний совместима тогда и только тогда,когда она элементарными преобразованиями приводит к лестничной системе.