19.Функціональні ряди поняття рівномірной збыжн. Озн вейерштр.

Озн: Нехай { } _n=1 послідовність функції визначено на деякій числовій множині Е . Функціональним рядом називають вираз (1). Візьмемо точку Х₀ і у ряді (1) покладемо Х=X₀ одержемо числовий ряд _(2).

Ряд (2) може бути як збіжним так і розбіжним.

Озн-я: Якщо ряд(2) збігається, точка Х₀ –точка збіжності функціонального ряду (1). Якщо ряд (2) розбігається то точка Х₀ – точка розбіжності функціонального ряду множини всіх точок збіжності функціонального ряду (1) називається областю збіжності цього ряду.

Зауваження: Зрозуміло , що область збіжності ряду(1) може ,як співпадати з множиною Е так і становити деяку її частину.

Оз-ня: N-ю частиною сумою функціонального ряду (1) називають вираз В кожній точці Х ,яка належить області збіжності ряду(1) існує скінченна границя

цю границю називають сумою ряду (1) і пишуть - визначена в області збіжності функціонального ряду (1).

Оз-ня: N- нним залишком функціонального ряду(1) називають вираз

зрозуміло, що для всіх точок Х з області збіжності ряду(1)

Зауваження: Відомо, що сума скінченого числа неперервной ф-й є ф-ю неперервною.Крім того сума скінченого числа ф-ї, можно почлено диференцюювати та інтегрувати. (якщо існують відповідні похідні і інтеграли). Виявляеться, що властивості незавжди виконуються для суми нескінченого числа доданків для ф-них рядів. Однак всі ці властивості зберігаються для так званих рівномірно збіжних ф-них рядів.

Оз-ня: Ф-ний ряд (1) наз. збіжним на деякій множині D E, якщо існуе N=N(E) і незалежить від Х, що виконуеться для _n>N, D / (х)/< E.

Основні властивості рівномірного збіжних ф-них рядів:

1. Якщо членами ф-ного ряду (1) є неперервні ф-цій на деякій множині D і цей ряд рівномірно збігаеться то його сума є ф-ю неперервною на множині D.

2. Якщо ф-ний ряд (1) рівномірно збігаеться на [a;b] і його члени є неперервні на цому відрізку ф-й то ряд (1) можна почлено інтегрувати у межах [ , ] [a,b] тобто: _{S(х)dx= (x)dx= (x)dx}

3. Якщо ряд (1) збігаеться на відрізку [a;b] а ряд складених з його похідних (х)

рівномірно збігаеться на [a;b] і крім того ф-й [a;b], /N то ряд (1) можна почлено диференцюювати, тобто: (x)= ⁼ , [a;b]

Теорема: (Ознака Верштрасе) Ф-ний ряд один абсолютно і рівномірно, зберігаеться на [a;b] , якщо для /N виконуеться нерівність / / , х [a;b] де ряд збіжний додатній числовий ряд.

Дов. З умови три і ознаки порівняння випливае, що ряд (1) є абсолютно збіжним на відрізку [a;b] . Покажемо теперь рівномірну збіжність ряду (1) . Оскільки ряд (1) абсолютно збігаеться то абсолютним буде його залишок: = ,

де _{-n-ий залишок ряду відомо, що коли числовий} ряд збігаеться його залишок при n прямуе до 0.Дісно, якщо

n , тоді >0

>N E Звідси для всіх виконуеться нерівність / (х)/<E Це означае, що ряд (1) є рівномірно збіжним на [a;b]

Приклад: Дослідити на рівномірну збіжність ф-ий ряд: виконуеться нерівність Ряд збігаеться за ознакою Доломбера:

,

g=

Таким чином вказаний ф-ний ряд рівномірно збігаеться за ознакою Верштрасе на всій числовій осі.