26. Подвійний інтеграл умови його існування і властивості

Нехай функція z=f(x,y ) визначене в деякій обмеженій замкненій області , межа якої складається із скінченого числа неперервних кривих. Розіб’ємо область D на n частин D1,..., Dn, які не мають спільних внутрішніх точок. Площі цих частин позначимо відповідно . У кожній з частин D1,...,Dn візьмемо довільну точку відповідно P1 ( ) і розглянемо суму (1)

Суму (1) інтегральною сумою функції z=f(x,y) по області Dn

Назвемо діаметром замкненої обмеженої області а величину d(а), що дорівнює найбільшій відстані між двома точками межі цієї області.

Позначимо через найбільший з діаметрів частинних областей D1,...,Dn, тобто

Якщо інтегральна сума(1) при має скінчену границю, яка не залежить від способу розбиття області D на частинні області Dі від вибору т. Рі в них, то цю границю називають подвійним інтегралом функції z=f(x, y).

Таким чином за означенням

(2)

У цьому випадку функцію називають інтегральною по області D.

Область д називають областю інтегрування, а Х, У- змінними інтегрування, ds - елементом площі.

Зауваження. Так як значення подвійного інтегралу не залежить від способу розбиття області D на частинні області D1,...,Dn, то ми можемо вибрати найбільш вдалі розбиття. У випадку, коли розглядаються Декартові координати, дуже зручним є розбиття області d на частинні області прямими, паралельними Ох і Оу.

У цьому випадку елемент площі ds = dxdy і пишуть . Якщо в областіD f(x,y) , то з формули (2) випливає, що _де - площа області D.

Геометричний зміст подвійного інтегралу

Подвійний інтеграл дорівнює об’єму циліндричного тіла, тобто тіла обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y) , знизу – областю D в площині ХОУ, з боків – циліндричною поверхнею, напрямки якої збігаються з межею області D, а твірні паралельні .

Теорема 1( достатня умова інтегрованості функції )

Якщо функція z=f(x, y) неперервна в замкненій обмеженій області , то вона інтегрована в цій області.

Порівнюючи означення подвійного інтегралу (формула 2)і означення визначеного інтегралу , багато в чому вони цілком аналогічні і тому, і в другому випадку розглядається деяка функція, задана в деякій замкненій множені обмеженій множині. Для визначення інтегралу цієї множини буде [a, b] , а для подвійного – замкнена обмежена область з .

І для подвійного і для визначеного інтегралу область визначення розбивається на частини, в кожній з яких береться довільна точка, в якій знаходиться значення функції. Це значення множиться потім на міру відповідної частини області. У випадку визначення інтегралу цією мірою є довжина відрізка . У двомірному випадку цією мірою є площа частинної області Dі. Потім утворюються інтегральні суми і знаходяться їх границі, коли міра частин області прямує до нуля. Порівнюючи все це, можна зробити висновок, що властивості подвійного інтегралу аналогічні властивостям визначеного інтегралу.

Властивості

1. Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла

2. Подвійний інтеграл від суми(різниці) двох функцій дорівнює сумі(різниці) подвійних інтегралів від цих функцій

4. Якщо у подвійному інтегралі в області D ,то

5. Якщо для всієї області D ,то

6. Якщо функція f(x, y) інтегрована в області D I D=D1 D2 (D1 I D2 не мають спільних внутрішніх точок), то

7. Якщо D - замкнена обмежена область, , то ,де m і M відповідно найменше і найбільше значення функції f(x, y) в області D.

8. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкненій обмеженій області D , то 27. Обчислення подвійних інтегралів. Приклади.

ОЗНАЧ: область назив правильною у напрямі осі ОУ, якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області D паралельно осі ОУ перетинає межу області D у двох точках. Аналогічно визначається область правильна у напрямі осі ОХ. Розглянемо випадки:

1) Нехай область D правильна у напрямі осі ОУ і задається умовами , . Тоді (1)

У формулі (1) спочатку треба обчислити завжди внутрішній інтеграл, а лише потім зовнішній. Межі інтегрування у внутрішн інтегралі можуть бути як змінними, так і сталими величинами. Межі інтегрування у зовн інтегралі завжди сталі. Зазначимо, якщо межі ітегр у внутр інтегралі є змінні, то вони залежать від змінної, що не є змінною інтегр у внутр інтегралі. Якщо всі межі інтегр у внутр інтегралі сталі, то зрозуміло, що область D є прямокутник.

2) Нехай область D правильна у напрямі осі ОХ і визначається умовами , . Тоді (2)

Зауваження. 1) Якщо область D правильна, як у напрямі ОХ, так і у напрямі ОУ, то подвійний інтеграл від функції f(x,y) по області D можна буде обчислити, як за форм (1) так і за (2). Результат повинен бути однаковий.

2)Якщо область інтегр D не є правильн ні у напрямі осі ОХ, ні у напрямі ОУ, то її треба розбити на частини, кожна з яких є правильною областю. Обчислюючи інтеграли по одержаним областям і додаючи їх за властивістю 5 подвійного інтегралу, одержимо шуканий інтеграл по області D.

3)Якщо виявляється, що нижня або верхня межа області D складається з кривих, що задаються різними рівняннями область D необхідно розбити на частини так, щоб кожна з ліній одержан частин визначалась лише одним рівнянням .Т оді подвійний інтеграл

₊

Т оді . ₊