- •19.Функціональні ряди поняття рівномірной збыжн. Озн вейерштр.
- •20. Поняття степеневого ряду. Теорема Абелья. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду.
- •Теорема2(Абелья) Якщо ряд (1) розбіжний в точці то він буде розбіжним для всіх
- •21. Схема исследования области сходимости степ. Ряда. Примеры. Свойства степ. Рядов
- •22. Ряд Тейлора
- •23. Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
- •24. Тригонометрический ряд Фурье.
- •25. Ряды Фурье для функций четных и нечетных. Ряды Фурье для 2l периодических функций. Примеры.
- •26. Подвійний інтеграл умови його існування і властивості
- •28. Заміна змінних в подвійному інтегралі.Подвійний інтеграл у полярних координатах.
- •29. Поняття потрійного інтегралу. Умови його існування та властивості.
- •30. Обчислення потрійного інтегралу. Приклади.
- •31. Заміна зміних у потрійному інтегралі.
- •32. Криволінійні інтеграли. Приклади.
- •33. Деякі застосування кратних та криволінійних інтегралів.
20. Поняття степеневого ряду. Теорема Абелья. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду.
Озн: Степеневим рядом наз. Ф-ний ряд віду (1)
де , дійсні числа, які наз. коефіціентами ряду. Степеневим рядом за степеннями двохчлена наз. ф-ним рядом виду (2)
Зауваження 1: Заміною завжди можно перейти від степеневого ряду (2) до ряду (1) тому надалі будемо розглядати лише степеневі ряди вигляду (1)
Зауваження 2: Всякий степеневий ряд вигляду (1) завжди збіжний в точці х=0 і його сума Таким чином область збіжності ряду (1) завжди містить принаймні одну точку.
Теорема1(Абелья) Якщо степеневий ряд (1) збігаеться в точці то він абсолютно збігаеться для всіх
Теорема2(Абелья) Якщо ряд (1) розбіжний в точці то він буде розбіжним для всіх
Дов. Нехай степеневий ряд (1) збігаеться в точці тоді збіжним є числовий ряд в цьому віпадку виконуеться необхідна умова збіжності числового ряду
звідси випливае, що { } обмежена, тобто , що виконуеться нерівність розглянемо тепер точку х таку, що тоді велечина Розглянемо Оскільки ряд збіжний, як геометрична прогресія (g<1) то за теоремою Верштрасе ряд абсолютно збіжні при Нехай ряд (1) розбігаеться в точці покажемо, що він розбіжний для всіх точок х таких що Припустимо супротивне тобто така, що і всякий степеневий ряд (1) збігаеться тоді за першим твердженням теореми Абелья степеневий ряд (1) повинен збігатися і в точці , а це суперечить умові теореми.
Наслідок: Для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки
Степеневий ряд (1) збігаеться лише в точці х=0
Степеневий ряд (1) збігаеться при всіх
- збігаеться і розбігается
Озн: Число R наз. радіусом збіжності степеневого ряду (1) , а інтервал (-R;R) наз. інтервалом збіжності цього ряду.
Розглянемо спосіб визначення радіуса збіжності степеневого ряду . Розглянемо ряд складений ряд з модулів членів ряду (1) Припустимо, що існуе границя =
, Тоді за ознакою Долонбера ряд (1) збігаеться, якщо або
тобто інтервал збіжності є , арадіус збіжності є число (3)
Даний ряд розбігаеться, якщо тобто аналогічно, використовуючи ознаку Коші, можна довести, що радіус збіжності степеневого ряду (1) (4)
Зауваження1: У випадку коли L=0 R= ряд (1) збігаеться на всій числовій осі.
У випадку коли L= R= областю збіжності ряду (1) є точка х=0.
Зауваження2: Інтервалом збіжності степенеого ряду (1) є (-R;R) але питання про збіжність ряду треба для кожного степеневого ряду розвязувати окремо. Таким чином область збіжності степеневого ряду (1) ьщже видризнятися від (-R;R) хіба лише двома точками .
Зауваження3: Для степеневого ряду (2) радіус зближеності знаходять за такими ж ф-ми (3) і(4) , що і для ряду (1) , а інтервал збіжності визначають з нерівності R тобто він мае вигляд
21. Схема исследования области сходимости степ. Ряда. Примеры. Свойства степ. Рядов
Рассм: (1), (2). Схема исследования : 1) по формулам или найти радиус сходимости. 2) Найти инт. сходимости для (1) (-R;R), для (2) (x0-R; x0+R) 3)В предельных точках интервала сходимости иссл. соотв. числовые ряды. 4) Граничные точки в которых соотв. числовые ряды сходятся присоед. В интервал сходимости. Пример1:Найти обл. сходимости ряда = . Интервал сходимости (-1;1). Если х=-1 имеем Этот знакоперем ряд сходящийся по признаку Лейбница. Если х=1 - расходящийся. Таким образом обл. сходимости этого ряда [-1;1). Пример2: Радиус сходимости R=1. (x0-R; x0+R)=(-3-1;-3+1)=(-4;2). Х=-4: ряд сходится по призн. Лейбница . Х=-2: обобщ гармонич. Ряд сходящийся. Таким образом обл. сходимости данного ряда промежуток [-4;-2]. Свойства степенных рядов :
1)степ ряд абсолютно и равномерно сходящийся на отрезке Док-ство: Поск ρ<R рассм по усл сходится. Тогда потому по призн. Вейерштрасса ряд (1) – абсол. И равномерно содящийся на 2)Сумма степ. Ряда (1) непр. Внутри его интервала сходимости Это св-во следует из св 1) м св-в (1)-(5) функц. Рядов. 3)Если пределы инт. α и β лежат внутри интервала (-R;R) то на отрезке [α;β ] этот ряд можно почленно интегрировать . В частности если ряд (1) интегрировать на [0;x], |x|<R , то в рез. Получим степ ряд который имеет тот самый интервал сходимости что и (1). Если сумму (1) обозн через , то 4) Если ряд (1) имеет интервал сходимости (-R;R) то ряд слож. Из производных членов ряда (1) имеет тот самый интервал сходимости. Кроме того . Замечание : таким образом на отрезке [a;x], |x|<R ряд (1) можно сколько угодно интегрировать, а сколько угодно дифер. При этом полученные ряды имеют тот же инт. Сходимости что и ряд (1).
Пример: обозн. Сумму через S(x). Ее можно рассм как геометр. Прогрессию с a=1 n q=x2 тогда интегрируя на [0;x] , |x|<1
получим
таким образом