28. Заміна змінних в подвійному інтегралі.Подвійний інтеграл у полярних координатах.
Нехай функція f(x,y) визначена у замкненій обмеж ній області D що належить /R у квадраті, зробимо у області D у подвін. Інтегр. SS по D f(x,y) dxdy перехід до нових змінних U i V за формулами дельта X =X(U,V) y=y(U,V) (1)Будемо вважати, що функції 1 непреривні і з формули 1 однозначно визначаються функц. U =U(X,Y) V=V(x,y) (2)
Тоді в кожній точці M(x,y)Є D відповідає деяка точка з M з зірочкою (U,V). Множина всіх точок M з зірочкою утворює замкнену обмежину область D з зірочкою.
Означ. Формули (1) назив. Формул. Перетвор. Координат, а формули (2) формулами оберненного перетворення
Т
еорема.
Якщо перетвор (2) перевод. Замкнену
обмежину D
з
зірочкою і функц. (1) мають в області D
з зірочкою неперервність частинні
похідні і відмінні від о визначник
J(U,V)=
” ”(3) а функція f(x,y)
неперервна в області D
те справедлива формула SSпо
D
f(x,y)dxdy=
SS
по D
f(x(U,V),y(U,V))*|J(U,V)|dudv(4)
Означ.Функц. означн. (3) назив визначн. Якобі, або, Якобіаним. Таким чином викон. Заміну змінних у інтегралі Sпо D f(x,y)dxdy за формул. (1) потрібно Елемент площі dxdy в координатах (x,y) замінити на елементи площі |J(U,V)|dudv в координатах (U,V) і перейти від старої області D до відповідно її абр. D з зірочкою.
Р
озглянемо
заміну декарт. Кордин. (x,y)
полярн. Координ. ро ,фі.За відомими
формулами Y=роsinфі
X=роcosфі,
тоді визначник якобі J(ро
,фі) =” ”= Y=роcos*cosфі
X=роsin*sinфі=ро.Таким
чином подвійницй інтеграл SSпо
D
f(x,y)dxdy=
SSпо
Dx
f(роcosфі,
роsinфі)
роdpdфі(5).
Де D
з
зірочкою об. В полярних координатах
(X,Y).
Зауваж: 1)У богат. Випадках формулу (5) доцільно застосов. Тоді коли або рівняння межі області D, або підінтегр. Функц. Містить вираз x*x+y*y. Оскідьки у полярних координатах диї вираз має досить простий вигляд x*x+y*y=ро*ро*cos*cosфі+ ро*ро*sin*sinфі= ро*ро.
2)Яих треба обчислити подв. Інтегр. У порлярних координатах він функції F(ро,фі) по області G, яка обмежина промінями фі= альфа і фі= альфа , альфа<бета і лініями ро1=ро1(фі), то подвійний інтеграл по G = SSпо G f(x,y)dxdy=” ”(6)
3)Якщо область G містить точку О тобто т.О є внутрішньою точкою області G, а межа області G визн. Рівн. ро=ро(t), то под інтегр.
” ” (7)
4)Зазначимо, що при обмежині подвійн. Інтегр. У полярн. Коорд. Внутрішн. Інтегр. Завжд. Обчис. По що , а зовнішній по фі.
29. Поняття потрійного інтегралу. Умови його існування та властивості.
Схема побудови потрійного інтеграла “вона” сама як звичайного визначного інтеграла та подвійного інтеграла. Нехай задана обмежина область G c /R, на якій визначена функція
U=f(x,y,z). Розыб’ємо область G неперервними поверхнями на n довільн. частин G1,…,Gn
обєми яких позначимо відповідно через дельтаV1,…, дельтаVn. В кожній з части них областей візьмемо довільну точку Pi(“Li”,єтоi,Ji),i=(1,n)под вектором і побудуємо суму від i=1,по n f(“Li”,єтоi,Ji) дельтаV1 (1)
Означ.Сума (1) називається інтегр. Сумою функц. U=f(x,y,z) у області G. Нехай лямда=max d(Gi) найбільший з діаметрів областей G1,…,Gn.
Означ. Інтегральна Якщо інтегральна сума (1) при лямда->0 має скінченну границю яка не залежить він способу і він вибору в них точок Pi, i=(1,n)под вектором то цю границю границю називають потрійним інтегралом функції U=f(x,y,z) по області G і позначаються
Символом SSSпо G він f(x,y,z)dv тут f(x,y,z) під інтегральна функція x,y,z-зміні інтегрування G-область інтегрування dv-єлемент обєми. Таким чином за означенням SSSпо G від f(x,y,z)dv<=lim(лямда=0) суму від i=1,по n f(“Li”,єтоi,Ji) дельтаVi (2)
Зауваження.1)У прямокутних декартових координатах зручним виявляється ( ) обмеж.
G площинами які паралельні координатн. Площинам. Хоу. Хоz,Yoz. В цьому випадку є лемент обєму dv=dxdydz і пишуть потрійний інтеграл по G SSSпо G від f(x,y,z) dxdydz.
2)Якщо вскори в області G F(x,y,z)=1, то з формули (2) випливає, що обєм області G дорівн. V0=SSS по G dxdydz. 3)Потрійний інтеграл ( ) узагальн. Подвійному інтегралу на рівномірний простір.Тому теорія потрійного інтеграла теор. потрійного.
Теор.(Достатні умови інтегрування) Якщо функція U=f(x,y,z) неперервна в замкненій обмеж. області G, то вона інтегр. В цій області.
Властивості потрійного інтеграла.
1)Постійний множникінтегралів під мнлжник можна виносити с під знаку потр.інтегр. SSSпо G він f(x,y,z)dv= с SSSпо G він f(x,y,z)dv.
2)Потрійний інтеграл він суми ” ” інтегрування функції дорівн. Суми (різниці) потрійн інтегр. ” ” .
3)Якщо функц. F(x,y,z) інтегровна в області. G і всюди в області G f(x,y,z) >=0, то SSSпо G від f(x,y,z)dv>=0.
4)Якщо функція f1(x,y,z) і f(x,y,z) інтегровані в області G , і всюди в області G справ. Нерівність f1(x,y,z) <f2(x,y,z), тоді SSSпо G він f1(x,y,z)dv<= SSSпо G він f2(x,y,z)dv
5)Якщо функц. F(x,y,z) інтегровані в області G і G=G1 U G2, де області G1 U G2 не мають спільн. Точок, то SSSпо G від f(x,y,z)dv= SSSпо G1 від f(x,y,z)dv + SSSпо G2 від f(x,y,z)dv
6)Якщо функція f(x,y,z) неперервна в замкненій області області G, то SSSпо G від f(x,y,z)dv<=”mVGmVg”<= SSSпо G від f(x,y,z)dv, де m I M відповідно найменше і найбільше значення функції f(x,y,z) в області G, Vg-обєи області G.
7)Якщо функц. F(x,y,z)неперервна в замкненій обмеженій області G то в цій області існує точка P0(x0,y0,z0) Є G “ ” SSSпо G від f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0).