- •19.Функціональні ряди поняття рівномірной збыжн. Озн вейерштр.
- •20. Поняття степеневого ряду. Теорема Абелья. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду.
- •Теорема2(Абелья) Якщо ряд (1) розбіжний в точці то він буде розбіжним для всіх
- •21. Схема исследования области сходимости степ. Ряда. Примеры. Свойства степ. Рядов
- •22. Ряд Тейлора
- •23. Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
- •24. Тригонометрический ряд Фурье.
- •25. Ряды Фурье для функций четных и нечетных. Ряды Фурье для 2l периодических функций. Примеры.
- •26. Подвійний інтеграл умови його існування і властивості
- •28. Заміна змінних в подвійному інтегралі.Подвійний інтеграл у полярних координатах.
- •29. Поняття потрійного інтегралу. Умови його існування та властивості.
- •30. Обчислення потрійного інтегралу. Приклади.
- •31. Заміна зміних у потрійному інтегралі.
- •32. Криволінійні інтеграли. Приклади.
- •33. Деякі застосування кратних та криволінійних інтегралів.
22. Ряд Тейлора
Пусть ф-кция f(x) явл. суммой степ. ряда f(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+…+an(x- x0)n+ …= (1). на (x0-R, x0+R). Тогда говорят, что f(x) разл. в степ. ряд в окр. т. х0 или по степеням х-х0. Найдем коэффициенты ряда (1). Для этого согл. св-ву 4 степ. рядов необх. последовательно продиф. ряд (1) и подставить в найденные производные значения х = х0.
f(x)=a0+a1(x-x0)+…
f(x0)=a0
f “(x)=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)2+…
f “(x0)=a1
f “ “(x)= 2a2+3*2a3(x-x0)+…
|=> f(n)(x)= n(n-1)…*2*1an+ (n+1)n(n-1)…2an+1(x-x0)+…
f(n)(x)=n!an
|=> a0=f(x0), a1=f ”(x0)/1!, a2=f “ “(x0)/2!, … , an=f(n)(x0)/n!
подставив значения коэфф. в равенство (1) получим
f(x) = f(x0)+f ”(x0)(x-x0)/1!+ f “ “(x0)(x-x0)2/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)n/n!+… = (2), 0!=1, f(0)=f.
Опр. Ряд (2) наз. рядом Тейлора ф-кции f(x). Итак, доказана такая теорема :
Теорема 1: если ф-кция f(x) на (x0-R, x0+R) может быть разложена в степ. ряд, то этот ряд единственный и явл. рядом Тейлора данной ф-кции.
Замечание : пусть ф-кция f(x) – произвольная беск. число раз дифф. функция. Сост. для неё ряд (2). Оказывается, что сумма ряда (2) не всегда сходится с f(x). Иначе говоря, ряд (2) может сходится к другой ф-кции, а не к f(x), для которй он формально был составлен.
Установим условия, при кот. сумма ряда(2) сходятся с f(x).
Теорема 2 : чтобы ряд (2) сходился к f(x) в (x0-R,x0+R) чтобы в этом интервале f(x) имела произв. всех порядков и остаточный член её ф-лы Тейлора →0 при n→∞, x из этого интервала: limn→∞ Rn(x) = 0, x (x0-R,x0+R). (3) Док-во : изв. что для f(x) , кот. имеет производные всех порядков , справ. ф-ла Тейлора : + Rn(x)(4),
где Rn(x)=f (n+1)(x0+Ө(x-x0))(x-x0)n+1/(n+1)!, 0<Ө<1 (5). Остаточный член ф-лы Тейлора в форме Лагранжа. Если n-ую частную сумму ряда (2) через Sn(x), то ф-лу (4) можно зап. в виде : f(x)=Sn(x) + Rn(x) (6). Пусть f(x)- сумма ряда (2), т.е. limb→+∞Sn(x)=f(x). Тогда из ф-лы (6) => св-во (3) и наоборот, если вып. условие (3), то из ф-лы (6) =>limb→+∞Sn(x)=f(x).
Замечание : непоср. проверка условий теоремы (2) нередко оказывается непростой задачей. Докажем теор., окт. даёт дост простое условия разл. ф-кций в ряд Тейлора.
Теорема 3 : если f(x) на (x0-R,x0+R) имеет производные всех порядков и : f (n)(x)<M, x (x0-R,x0+R),n /N(7) то ф-кцию f(x) можно разложить в ряд Тейлора.
Док-во : в соответствии с теоремой (2) достаточно проверить усл. (3). В силу нер-ва (7) остаточный член ф-лы Тейлора удовл. нер-во:
|Rn(x)|=|f (n+1)(x0+Ө(x-x0))||(x-x0)|n+1/(n+1)!<M|x-x0|n+1/(n+1)! (8) Составим степенной ряд: (9) Применим к ряду (9) признак д’Аламбера : limn→∞Un+1(x)/Un(x)= limn→∞[M|x-x0|n+2/(n+2)! * (n+1)!/M|x-x0|n+1]= limn→∞|x-x0|/n+2=0. Поэтому степ. ряд (9) сходится на /R. Тогда для схоящегося ряда limn→∞Un+1(x)= limn→∞M|x-x0|n+1/(n+1)!=0. Из нер-ва (8) находим, перейдя к пределу limn→∞Rn(x)=0,
x (x0-R,x0+R).
23. Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
Опр: Рядом Макларена f(x) назыв. степ. Ряд по степеням х , который можно получить из ряда Тейлора f(x) приняв f(x)=f(0)+ + +…+ = (1). Чтобы разложить ф-ю f(x) в ряд Макларена необходимо: а) найти
б) вычислить значения их в т. х=0. в)записать ряд Макларена (1) для данной ф-ции и найти его интервал сходимости. г)опр интервал (-R;R) в котором член , если указ интервал существует то в этом интервале f(x) и сумма (1) сходятся. f(x)=
Рассм ряды Макларена некоторых элем 1)ex=1+ + +…+ +...+= (2) . Док-ство: пусть f(x)=ex а) б) в) по ф-ле (1) получим :
1+…+ +…+ +...; R=
. Найденный ряд сходится на
(- ; ) исп. теор. (3) |f(n) (x)|=|ex|=e|x|<eR , (-R;R). Поэтому ex можно разложить в степ. ряд на люб. интервале
(- ; ) 2) sin(x)= - + -…+(-1)n
= (3). Док-ство : пусть f(x)=sin(x) Имеем: а) , , … б) =0, n=0,2,4,6… =1, n=1,5,9… =-1 ,n=3,7,11…
в) - + -… +(-1)n +… R= = =
г) ряд сходится на . Док-ство: = ≤1< ,
3) cos(x)=1- + -…+ = , (4) . Д-ство : как Ф-ла (3)
4) (1+x)m = 1 + + +…+ +…= (5) Док-ство: пусть f(x)=(1+x)m а) =m(1+x)m-1 =m(m-1)(1+x)m-2 … =m(m-1)…
(m-n+1)(1+x)m-n
б) =m(m-1)…(m-n+1) , в)1+ + + …+ +…. R= = =1 т.е. (-1;1) интервал сходимости г)док-во того что не приводим. Ряд (5) назыв биномиальным .Если получим известное разложение – бином Ньютона. сходимость бином ряда в конечн. точках интервала зависит от точек. Ряд (5) сходится к (1+x)m в таких случаях : 1) при m≥0 x є [-1;1] 2) -1<m<0 x є (-1;1] 3) m≤-1 x є (-1;1) без доказательства.
5) 1/(1+x) =1-x+x2-…+
(-1)nxn+…= (6)
/ для док ф-лы (6) в ф. (5) взять показ степени -1.
6) 1/(1-x)= 1+x+x2+…+xn+…=
х є (-1;1) взять в ф-ле (6) –х вместо х .если в ф-ле (6) проинтегрировать почленно степ. ряд получим разложение в степ ряд ln(1+x) 7)ln(1+x)=x-x2/2+x3/3+…+(-1)n-1xn/n+…=
x є (-1;1] (8)