- •19.Функціональні ряди поняття рівномірной збыжн. Озн вейерштр.
- •20. Поняття степеневого ряду. Теорема Абелья. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду.
- •Теорема2(Абелья) Якщо ряд (1) розбіжний в точці то він буде розбіжним для всіх
- •21. Схема исследования области сходимости степ. Ряда. Примеры. Свойства степ. Рядов
- •22. Ряд Тейлора
- •23. Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
- •24. Тригонометрический ряд Фурье.
- •25. Ряды Фурье для функций четных и нечетных. Ряды Фурье для 2l периодических функций. Примеры.
- •26. Подвійний інтеграл умови його існування і властивості
- •28. Заміна змінних в подвійному інтегралі.Подвійний інтеграл у полярних координатах.
- •29. Поняття потрійного інтегралу. Умови його існування та властивості.
- •30. Обчислення потрійного інтегралу. Приклади.
- •31. Заміна зміних у потрійному інтегралі.
- •32. Криволінійні інтеграли. Приклади.
- •33. Деякі застосування кратних та криволінійних інтегралів.
32. Криволінійні інтеграли. Приклади.
Озн.:Неперервна крива x=x(t),y=y(t),де а<=t<=b наз. гладкою, якщо ф-ція x(t) і y(t) мають неперервні похідні, які не дорівнюють одночасно 0 ні в якій точці a<=t<=b
Озн:Крива LCR2 наз. Кусково гладкою, якщо вона склад. із скінченого числа гладких кривих.
Нех. в площ. хОу задана кусково гладка крива АВ і нехай на цій кривій визначена обмежена ф-ція F(x,y). Розіб’ємо криву АВ точками А=А0, А1,А2,...,Ап =В на n частин.
На кожній з дуг Аi-1Аi, i=1,n Виберемо довільну точку Мi(ﻉi ,ηi )дуги Ai-1Ai і складемо сумую
(1)
Озн: сума(1) наз. інтегральною сумою ф-ції f(x,y), по кривій
Позначемо через λ=max з li (найбільша з двох дуг Аi-1 Ai 1≤i≤n), якщо при λ→0 існує скінч. границя інтег. суми (1), яка не залежить від способу розбиття кривої АВ на дуги точками Аi
i=0,n та не залеж. від точок вибору Мi , i=1,n, то цю границю наз. кринолін. інтег. першого роду від ф-ції f(x,y). (2)
якщо границя (2) існує, то ф-цію f(x,y) назю інтегрованою на кривій АВ. Саму криву АВ наз контуром інтегрування. А наз. начальной тч. інтег., В – конечной
Обчислення криволінійних інтегралів I роду:
крива АВ задана параметрично x=x(t) y=y(t), a≤t≤b, причому ф-ції x(t), y(t) – неперервні разом із своїми похідними, тоді інт. по АВ
АВ задана в явному виді y=y(x), a≤x≤b. Тоді крив. інт.
леше вваж., що ф-ція у=у(х) – неперервне разом із своєю похідною y’(x).
3) АВ задане рівн. х=х(у), с≤у≤d. Ми вважаємо, що ф-ція х(у) – неперервна разом зі
своєю похідною x’(y), тоді
Приклад: обчислити , АВ: у=х3/4, А(0,0), В(4,3)
Криволінійні інтеграли II роду визначаються майже так само, як і криволінійні інтеграли I роду. Нех. в площ. хОу задана кусково гладка крива А – поч. і В – кін. кривої. Розіб’ємо на дуги А=А0,А1,...,Аn=В, на кожній з дуг Аi-1Аi виберем точку Мi (ξi,ηi). Познач. через ⌂хi проекцію вектора Аi-1Аi на вісь Ox.
Нех. f(x,y) обмеж. ф-ція, задана на кривій АВ. Розгул. інт. суму (3)
Зрозуміло, що інт. суми в ф-ях (2) і (3) – різні
Озн. Границя при інтегральних сум в випадку, коли вона скінченна не залежить від способу розбиття кривої АВ не дуги точкам Аi(=0,n) і вибору точок Mi(i=1,n) наз. криволінійним інтег. від ф-ції f(x,y) II роду по координаті х і позначається символом
, тобто за означ. Аналогічно визн . кринолін. інт. II роду від ф-ції f(x,y) по координаті у.
Нех. на кривій АВ задані функції P(x,y) і Q(x,y) - наз. криволін. інт. II роду від ф-цій P і Q по кривій АВ і познач символом
Обчислення криволінійних інтегралів II роду:
1)крива АВ задана параметрично x=x(t) y=y(t), a≤t≤b, причому ф-ції x(t), y(t) – неперервні разом із своїми похідними x’(t) і y’(t)
2)АВ задана в явному виді y=y(x), a≤x≤b вваж., що ф-ція у=у(х) – неперервне разом із своєю похідною y’(x). Тоді крив. інт. II роду
3)АВ задане рівн. х=х(у), с≤у≤d. Ми
вважаємо,
що ф-ція х(у) – неперервна разом зі
своєю похідною x’(y), тоді
Пример обчислити , АВ: у=х2 парабола, яка з’єднує тч. А(0,0) і В(1,1)
За другою ф-лою
У деяких випадках треба обчислювати крив. інтеграл по замкненому контуру.
В цьому випадку розглядають дві орієнтації: під додатною орієнтацією контура розуміють обхід контура у напрямі, що збігається з напрямом, який протилежний руху годинникової стрілки. Тобто це буде такий обхід обл., при якому внутрішність обл., яка обмежена кривою АВ залишається зліва. Крив. інтеграл по замкненому контуру познач. символом ; при обхіді контуру (за годинниковою стрілкою) вважають від’ємною і познач. символом
Ф-ла Тріна
Теор.: Нех D – деяка правильна обл. у якій задані ф-ції P(x,y) і Q(x,y) і викон. умови:
P(x,y) і Q(x,y) неперервні разом із своїми частинними похідними , ;
2)границя обл. D кусково гладка крива L.
Тоді справдж. ф-ла Тріна (4)
Ф-ла Тріна (4) зв’язує подвійний інт. і кринолін. інт.
Зауваж.: вияв., що для любих тч. А і В площини хОу кринолін. інт. при обчислені за різними кривими, що з’єднують тч. А і В мають різні знач..
Озн. обл. D у площ. хОу наз. однозв’язною, якщо її межа є одна неперервна замкнена крива без точок само перетину. У випадку, коли межа обл. D з двох замкнених кривих, без точок само перетину обл. D наз. двозв’язною.
Теор.: якщо ф-ції P(x,y) і Q(x,y) неперервні разом із своїми частинними похідними , у деякій однозв’язній обл. DСR2 , то наступні 4 умови еквівалентні:
1) якщо L – довільна неперервна замкнена крива, яка належить обл. D, то криволін. інт.
2) якщо А і В – довільні точки обл. D, то криволін. інт. не залеж. від шляху . інт
3) існує ф-ція U=U(x,y), визначена в обл. D. Повний дифірінціал якої дорів. dU=Pdx+Qdy
4) у всіх тч. обл. D викон. рівність = .