МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНІЙ УНІВЕРСИТЕТ

ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

ІДЕНТИФІКАЦІЯ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ОБ’ЄКТІВ АВТОМАТИЗАЦІЇ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання лабораторних робіт

для студентів за напрямом підготовки

6.050202 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”

денної та заочної форм навчання

Всі цитати, цифровий СХВАЛЕНО

та фактичний матеріал, на засіданні кафедри

бібліографічні відомості автоматизації і комп’ютерно-

перевірені. Написання інтегрованих технологій

одиниць відповідає Протокол № 12

стандартам. від 12.04.2011 р.

Підпис(и) автор(ів)___________________

«12» 04 2011 р.

Київ нухт 2011

Ідентифікація та моделювання об’єктів автоматизації. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт для студентів за напрямом підготовки 6.050202 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології” денної та заочної форм навчання / Уклад.: В.Д. Кишенько, С.А. Киричук, Є.С. Проскурка. – К.: НУХТ, 2011. – 19 с.

Рецензент: Б.М. Гончаренко, д-р. техн. наук, професор

Укладачі: В.Д. Кишенько, канд. техн. наук

С.А. Киричук

Є.С. Проскурка

Відповідальний за випуск А.П. Ладанюк, д-р. техн. наук, проф.

Лабораторна робота №1

Побудова математичних моделей статичних, стохастичних об’єктів управління методом найменших квадратів

Мета роботи: Освоїти методику проведення пасивного експерименту та обробки експериментальних даних за методом найменших квадратів.

Загальні відомості

Статичною характеристикою (математичною моделлю статики) об’єкта управління називається функціональна залежність вихідних величин об’єкта від вхідних діянь (збурення / управління) в усталеному режимі роботи об’єкта, коли всі його змінні є сталими в часі.

Стохастичним об’єктом називається об’єкт, в якому всі його змінні змінюються як випадкові процеси. Ці випадкові процеси підкоряються певним статистичним закономірностям.

Більшість технологічних об’єктів управління є стохастичними об’єктами, в яких змінні є випадковими процесами з нормальним (Гаусовим) законом розподілу. У цьому випадку може бути виявлена в процесі експерименту та обробки експериментальних даних статистична закономірність – рівняння регресії, яка відтворює статистичну залежність математичного сподівання вихідної величини від вхідних дій.

Такі моделі (закономірності) отримуємо в результаті обробки експериментальних даних пасивного чи активного експерименту.

Експериментом називають взаємодію дослідника з об’єктом дослідження, в результаті якої шляхом вимірювання отримують дані спостереження в кількісній чи якісній формі – експериментальні дані.

Пасивний експеримент полягає у спостережені за функціонуванням об’єкта, шляхом вимірювання всіх його змінних, що входять в модель без нанесення на об’єкт спланованих діянь.

Одним з методів побудови математичних моделей таких стохастичних об’єктів є метод найменших квадратів. Метод найменших квадратів – це метод параметричної ідентифікації об’єктів управління.

Ідентифікація – це процес побудови математичної моделі об’єкта управління за експериментальними даними та деякою апріорною (до дослідів) інформацією (дані про особливості об’єкта: детермінований-стохастичний, лінійний-нелінійний, неперервний-дискретний, стаціонарний-нестаціонарний; інформація про алгоритм та критерії ідентифікації), при цьому математична модель повинна бути оптимальною, забезпечуючи екстремальне значення критерію адекватності.

Адекватність – це міра відповідності моделі об’єкту. В більшості випадків оцінюється за допомогою показників-критеріїв адекватності, які зв’язують вихідні змінні моделі та об’єкта.

Математичні моделі об’єктів управління складаються з двох основних компонентів:

• структури S;

• параметрів цієї структури А_S.

M <S, A_S > (1.1)

Структура математичної моделі S являє собою сукупність елементів (вхідні та вихідні змінні), форм зв’язків між цими елементами, типів зв’язків.

Тип зв’язку лінійний:

у = а₀+а₁х₁+а₂х₂ (1.2)

де у, х₁, х₂ – елементи; а₀, а₁, а₂ – параметри;

Тип зв’язку лінійний, степеневий:

у = а₀+а₁х₁+а₂х₁² (1.3)

де у, х₁– елементи; а₀, а₁, а₂ – параметри;

Тип зв’язку показниковий.

у = а₀х₁^а1 (1.4)

де у, х₁– елементи; а₀, а₁ – параметри;

Параметрами структури є коефіцієнти рівняння, константи, за допомогою яких кількісно оцінюється взаємозв'язок між змінними.

При параметричній ідентифікації структура математичної моделі визначається неформальним шляхом, частіше всього апріорі (до дослідів), на основі досвіду застосування на об’єктах подібного класу, або шляхом висунення декількох структур-претендентів, остаточний вибір найбільш ефективної з них здійснюється в процесі обробки даних.

Метод найменших квадратів є оптимізаційною задачею, критерієм оптимальності якої є вираз:

Ф= (1.5)

де і – номер експерименту;

n – загальна кількість експериментів;

у^е_і, у^м_і – відповідно, значення вихідної величини об’єкта, отримані в результаті і-того експерименту та розраховані за математичною моделлю при значеннях вхідних дій, отриманих на і-тому експерименті.

У випадку відомої структури рівняння (1.5) набуває вигляду:

Ф= (1.6)

В постановці (1.6) метод найменших квадратів є задачею нелінійного програмування.

У випадку, якщо функція f_j є диференційованою, тоді задачу (1.6) можна вирішити градієнтними методами чи методами класичного аналізу. Якщо функція f_j буде лінійною за одним параметром, то:

Ф= (1.7)

Для вирішення задачі (1.7) знаходимо часткові похідні та прирівнюємо їх до нуля:

(1.8)

Отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язком якої є:

; (1.9)