32. Автокорреляция 1-го порядка и критерий Дарбина-Уотсона.

В классической регрессионной модели выполнение третьего условия Гаусса-Маркова (Соv(ε_t ε_S) = 0,при t ≠ s) гарантирует некоррелированность значений случайных членов в раз­личные моменты наблюдений и это позволяет получить несмещенные МНК-оценки с минимальной дисперсией. Зависимость значений случайных членов в различные моменты времени на­зывается автокорреляцией (сериальной корреляцией).

Формальной причиной автокорреляции в регрессионных моделях является нарушение третьего условия теоремы Гаусса-Маркова, действительной же причиной может быть: неправильная спецификация переменных (пропуск важной объясняющей переменной); использование ошибочной функциональной зависимости, а иногда и характер наблюдений (например, временные ряды).

Для проверки на автокорреляцию используется ряд крите­риев, из которых наиболее широкое применение получил крите­рий Дарбина-Уотсона:

Критерий DW связан с выборочным коэффициентом корреляции между е_t и е_t-1, соотношением: DW≈2(1-r),

Если автокорреляция отсутствует, то DW ≈ 2, при наличии положительной автокорреляции DW<2, если автокорреляция отрицательна, DW>2. И поскольку коэффициент корреляции принимает значения -1 ≤ r ≤ 1, то 0≤ DW ≤ 4. Полученное для данной регрес­сии значение статистики сравнивается с верхней и нижней гра­ницами ее критического значения d_L ≤ d_крит ≤d_U. Границы d_U и d_L выбира­ются из таблиц по числу наблюдений n, числу регрессоров k и уровню значимости α. При этом возможны следующие случаи:

1. Наличие положительной автокорреляции: DW<d_L.

2. Наличие отрицательной автокорреляции: DW >4-d_L.

3. Автокорреляция отсутствует: d_U ≤ DW≤ 4-d_U.

4. Зоны неопределенности: d_L<DW< d_U или 4- d_U <DW<4-d_L.

Этот тест подробно исследован и реализован во всех статистических пакетах, STATGRAPHICS, STATISTICA и других.

Значение статистики DW	Вывод
4 – dl < DW < 4	Гипотеза о независимости остатков отвергается, есть отрицательная корреляция
4 – du < DW < 4 – dl	Неопределенность
2 < DW < 4 – du	Принимается гипотеза о независимости остатков
du < DW < 2	Принимается гипотеза о независимости остатков
dl < DW <du	Неопределенность
0 < DW <dl	Гипотеза о независимости остатков отвергается, есть положительная корреляция

33. Тест серий (критерий Бреуша-Годфри)

Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

(*)

где e_i – остатки регрессии, получаемые обычным МНК, коэффициент r окажется значимо отличающимся от нуля.

Практическое применение теста заключается в оценивании МНК регрессии (*), где временной ряд e_i-1 представляет ряд e_i со сдвигом по времени на единицу.

Преимущество теста Б-Г по сравнению с тестом Д-У заключается в том, что он проверяет с помощью статистического критерия, между тем как тест Д-У содержит зону неопределенности для значений d – статистики. Другим преимуществом теста является возможность обобщения: в число регрессоров могут быть включены не только остатки с лагом 1, но и с лагом 2, 3 и так далее, что позволяет выявить корреляцию не только между соседними, но и между более отдаленными наблюдениями.