- •Введение
- •1.Стандартное преобразование Фурье
- •1.1. Пример анализа с использованием преобразования Фурье.
- •1.3. Анализ применимости преобразования Фурье.
- •2. Кратковременное преобразование Фурье
- •2.1. Общие сведения.
- •2.2. Анализ применимости кратковременного преобразования Фурье.
- •2.3. Принцип Гейзенберга.
- •3. Непрерывное wavelet-преобразование и анализ со многими разрешениями.
- •3.1.Общие сведения
- •3.2.Определение непрерывного wavelet - преобразования
- •3.3. Примеры материнских wavelet-ов
- •3.4. Локализующие свойства и интерпретация
- •3.5. Свойства cwt
- •3.6. Примеры непрерывного wavelet-преобразования
- •3.7. Дискретизация непрерывного wavelet-преобразования.
- •3.8. Практическое использование непрерывного wavelet-преобразования
- •4. Дискретное wavelet-преобразование
- •4.1. Кратномасштабный анализ
- •4.2. Wavelet-ряды дискретного времени
- •4.3. Матричное описание дискретного wavelet-преобразования
- •4.4. Описание dwt посредством банков фильтров.
- •5. Применение дискретного wavelet-преобразования.
- •5.1. Применение wavelet-преобразования для сжатия сигнала.
- •5.2. Удаление шума из сигнала.
- •6. Адаптивные ортогональные преобразования.
- •6.1. Пакеты вейвлетов.
- •7. Работа с приложением gui wavemenu пакета программ matlab
- •7.1 Описание Wavemenu
- •7.1.1. Вызов Wavemenu
- •7.1.2. Структура Wavemenu
- •7.1.3. Меню для разделов Wavemenu
- •7.1.4. Экспорт и импорт информации из Wavemenu
- •7.2 Использование Wavemenu для обработки сигналов
- •7.2.1. Получение информации по конкретным wavelet-ам
- •7.2.2. Использование дискретного wavelet-преобразования
- •Очистка сигнала от шумов на основе dwt
- •Сжатие сигнала на основе dwt в Wavemenu
- •7.2.3. Использование разложения по wavelet-пакету
- •Очистка сигнала от шумов с использованием wavelet-пакет
- •Сжатие сигнала с использованием wavelet-пакет
- •7.2.4 Работа с непрерывным wavelet-преобразованием
- •Литература
- •197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5
4.3. Матричное описание дискретного wavelet-преобразования
Обозначим через вектор последовательность конечной длиныдля некоторого. Этот вектор преобразуется в вектор, который содержит последовательностии, каждая из которых половинной длины. Преобразование может быть записано в виде матричного умножения, где матрица- квадратная и состоит из нулей и элементов, умноженных на. В силу свойств, полученных в предыдущем разделе, матрицаявляется ортонормированной и обратная ей матрица равна транспонированной. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Возьмем фильтр длиной, последовательность длиной, а в качестве начального значения -. Последовательностьполучим изпо формуле (31), где. Тогда операция матрично-векторного умножения будет представлена в виде
(39)
Обратное преобразование есть умножение на обратную матрицу:
(40)
Таким образом, (39) - это один шаг DWT. Полное DWT заключается в итеративном умножении верхней половины вектора на квадратную матрицу, размер которой. Эта процедура может повторятьсяdраз, пока длина вектора не станет 1.
В матрице (39) в четвертой и восьмой строках последовательность циркулярно сдвинута: коэффициенты, выходящие за пределы матрицы справа, помещены в ту же строку слева. Это означает, что DWT есть точно один период длиныN DTWS сигнала, получаемого путем бесконечного периодического продолжения. Так что DWT, будучи определенным таким образом, использует периодичность сигнала, как и в случае с DFT.
Однако, при обработке сигналов, DWT чаще всего описывается посредством блок-диаграммы.
4.4. Описание dwt посредством банков фильтров.
В данном случае имеется два фильтра и, банк фильтров – двухполосный и может быть изображен, как показано на рисунке 11.
Рис. 11. Схема двухполосного банка фильтров.
Фильтры FиEозначают фильтрацию фильтрамии, соответственно. В нижней ветви схемы выполняется низкочастотная фильтрация. В результате получается некоторая аппроксимация сигнала, лишенная деталей низкочастотная (НЧ) субполоса. В верхней части схемы выделяется высокочастотная (ВЧ) субполоса. Отметим, что при обработке сигналов константавсегда выносится из банка фильтров и сигнал домножается на 2.
Итак, схема рис.11 делит сигнал уровня на два сигнала уровня. Далее, вейвлет-преобразование получается путем рекурсивного применения данной схемы к НЧ части.
Рис. 12. Эквивалентная схема wavelet-преобразования.
Однако существуют некоторые отличия. При фильтрации сигнала конечной длины мы сталкиваемся с проблемой его продолжения на границе. Матричное выполнение DWT эквивалентно периодическому продолжению сигнала на границе. Этот тип продолжения является обязательным для ортогональных фильтров. В случае применения биортогональных фильтров появляются некоторые другие возможности в силу симметричности их характеристик.
Схему, выполняющую DWT, можно представить так же, как показано на рис.12. Здесь рекурсивная фильтрация и прореживание заменены одной операцией фильтрации и одной операцией прореживания на каждую субполосу. Определение итерационных фильтров илегче всего дать в частотной области:
В пределе итерационный фильтр сходится к.
Во временной области это означает, что график последовательности , построенной против, сходится кприj, стремящемся к бесконечности.
Определение DWT может быть дано по аналогии с DFT. Предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, , имеет длину. Периодически продолжим его. Получим периодический сигналс периодомN. Тогда
Заметим, что в действительности суммы конечные, так как итерируемые фильтры имеют конечную длину. Ряд DTWS может быть записан аналогично:
(41)
Отметим, что (41) не есть дискретизированная версия непрерывного ряда CTWS, так как вместо функции здесь мы имеем последовательность. Однако, дискретная формула сходится в пределе к непрерывной.