- •Введение
- •1.Стандартное преобразование Фурье
- •1.1. Пример анализа с использованием преобразования Фурье.
- •1.3. Анализ применимости преобразования Фурье.
- •2. Кратковременное преобразование Фурье
- •2.1. Общие сведения.
- •2.2. Анализ применимости кратковременного преобразования Фурье.
- •2.3. Принцип Гейзенберга.
- •3. Непрерывное wavelet-преобразование и анализ со многими разрешениями.
- •3.1.Общие сведения
- •3.2.Определение непрерывного wavelet - преобразования
- •3.3. Примеры материнских wavelet-ов
- •3.4. Локализующие свойства и интерпретация
- •3.5. Свойства cwt
- •3.6. Примеры непрерывного wavelet-преобразования
- •3.7. Дискретизация непрерывного wavelet-преобразования.
- •3.8. Практическое использование непрерывного wavelet-преобразования
- •4. Дискретное wavelet-преобразование
- •4.1. Кратномасштабный анализ
- •4.2. Wavelet-ряды дискретного времени
- •4.3. Матричное описание дискретного wavelet-преобразования
- •4.4. Описание dwt посредством банков фильтров.
- •5. Применение дискретного wavelet-преобразования.
- •5.1. Применение wavelet-преобразования для сжатия сигнала.
- •5.2. Удаление шума из сигнала.
- •6. Адаптивные ортогональные преобразования.
- •6.1. Пакеты вейвлетов.
- •7. Работа с приложением gui wavemenu пакета программ matlab
- •7.1 Описание Wavemenu
- •7.1.1. Вызов Wavemenu
- •7.1.2. Структура Wavemenu
- •7.1.3. Меню для разделов Wavemenu
- •7.1.4. Экспорт и импорт информации из Wavemenu
- •7.2 Использование Wavemenu для обработки сигналов
- •7.2.1. Получение информации по конкретным wavelet-ам
- •7.2.2. Использование дискретного wavelet-преобразования
- •Очистка сигнала от шумов на основе dwt
- •Сжатие сигнала на основе dwt в Wavemenu
- •7.2.3. Использование разложения по wavelet-пакету
- •Очистка сигнала от шумов с использованием wavelet-пакет
- •Сжатие сигнала с использованием wavelet-пакет
- •7.2.4 Работа с непрерывным wavelet-преобразованием
- •Литература
- •197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5
3.6. Примеры непрерывного wavelet-преобразования
Вычисление CWT.
Пусть s (t) - анализируемый сигнал. Материнский wavelet выбирается так, чтобы служить прототипом всех окон в процессе вычисления. Все окна - это расширенные (или сжатые) и смещенные версии материнского wavelet’а. Имеется ряд функций, которые используются для этой цели Если материнский wavelet выбран, вычисляется непрерывное wavelet-преобразование вначале для a = 1, а затем для всех значений a ( меньших и больших 1 ). Однако в полном преобразовании обычно нет необходимости. Для практических целей обычно достаточно произвести вычисления для ограниченного интервала значений масштаба.
Для удобства процедура будет начата с масштаба a=1 и продолжится для увеличивающихся значений a, т.е. анализ начнется с высоких частот и перейдет к низким частотам. Это первое значение a будет соответствовать наиболее сжатому wavelet. Поскольку если значение a увеличивается, wavelet расширяется.
Wavelet помещается в начало сигнала в точку, которая соответствует нулевому моменту времени. Wavelet-функция в масштабе " 1 " умножается на сигнал и затем интегрируется по всей временной оси. Результат интегрирования затем умножается на константу 1/sqrt(a). Это умножение необходимо для нормализации энергии так, чтобы преобразованный сигнал имел одинаковую энергию при любом значении масштаба.
Конечный результат - значение непрерывного wavelet-преобразования в точке =0, a=1.
Wavelet в масштабе a=1 затем сдвигается вправо на величину , и вычисляется значение преобразования в точке t=, a=1.
Эта процедура повторяется, пока wavelet не достигнет конца сигнала. Затем a увеличивается на маленькое значение, и вся процедура выполняется для каждого значения a. Вычисление для каждого конкретного значения s заполняет соответствующую полосу на плоскости "время - масштаб". Когда процесс завершен для всех значений a, CWT сигнала вычислено.
Очевидно, что произведение отлично от нуля только на носителе wavelet-функции. Посредством сдвига wavelet по времени сигнал локализуется во времени, а благодаря изменению значения a, сигнал локализуется в масштабе (частоте).
Если сигнал имеет спектральную компоненту, которая соответствует текущему значению a (1 в данном случае), произведение wavelet с сигналом в точке, где эта спектральная компонента существует, дает относительно большое значение. Если такая спектральная компонента не представлена в сигнале, значение произведения будет относительно малым или равным нулю. С другой стороны, для крупных масштабов непрерывное wavelet-преобразование даст большие значения для почти всей продолжительность сигнала, так как низкие частоты присутствуют все время.
Самый простой способ состоит в том, чтобы попрактиковаться на очень простом академическом сигнале, типа простого разрыва во времени или монохроматического сигнала (чистой синусоиды).
Мы теперь анализируем два академических сигнала, упомянутый выше. Ось масштаба, в единицах a, указывает вниз, так, чтобы высокие частоты (малые a) соответствовали вершине графиков, и низкие частоты (большие a) к низу. Результаты представлены кодированием значений коэффициентов цветом от белого до черного.
Простой разрыв.
Самый простой сигнал - простой разрыв во времени, при x = x0, смоделированный как s(x)=d(x-x0). Полученный CWT выглядит так:
(21)
Следующие особенности видны из уравнения (21):
• Фаза S(a, b) постоянна на линиях, b/a = константа, возникающая из точки b= x0 на горизонте: эти линии указывают на положение особенности, подобно пальцу.
• На тех же самых линиях постоянного фазы модуль S(a,b) увеличивается как a-0.5, при a 0. Результат даже более явен, если используется L1 нормализация.
Единственная монохроматическая волна.
Рассмотрим комплексный сигнал с единственной гармоникой (монохроматическая волна):
, (22)
который дает:
(23)
Те же самые соотношения остаются истинными для реального монохроматического сигнала, s(x) = sin(wsx) или s(x)=cos(wsx), если wavelet такой, что .
Еще два важных свойства следуют из (23):
• модуль S(a, b) независит от b:
(24)
График | S (a, b) | состоит из горизонтальных полос, и профиль для фиксированного времени b по существу воспроизводит профиль "подокна ".
• Фаза S(a,b) линейна по b
Рис.8. CWT дельта функции (t-256) сa=1:32,t=1:512 с использованием wavelet-а Мейера
Рис. 9. CWT синусоидального сигнала с a=1:32,t=1:512 с использованием wavelet-а Mexican Hat.