3.3. Примеры материнских wavelet-ов
Два наиболее часто используемых практически wavelet‑a - это Mexican Hat и wavelet Morlet-а.
Mexican Hat - просто вторая производная Гауссиана,
. (9)
Это вещественный wavelet с двумя обращающимися в нуль моментами (n = 0,1).
Morlet wavelet - это модулированный Гауссиан
(10)
(11)
Фактически первое выражение в отдельности не удовлетворяет условиям допустимости (6) и (7) и, следовательно, есть потребность в исправлении. Однако, для достаточно большого w0 (обычно w0 => 5.5), этот коррекция численно незначительна. Без коррекции, (10) это функция Gabor-а, наиболее общая функция, используемая в STFT.
Morlet wavelet комплексен, следовательно, соответствующее преобразование S(a,b) - также комплексно, и можно рассматривать отдельно фазу и модуль. Оказывается, что фаза преобразования - определяющий компонент алгоритма обнаружения особенностей в сигнале.
3.4. Локализующие свойства и интерпретация
Главные достоинства CWT следуют
из того, что
имеет компактный носитель при этом
и
должны быть настолько хорошо локализованы,
насколько возможно. Пусть
имеет 'существенный' носитель ширины
L, центрированный вокруг 0, в то время
как
имеет 'существенный' носитель ширины
,
центрированный вокруг w0,
тогда wavelet-ы
ab
и
ab
, имеют, соответственно, 'существенный'
носитель ширины аL
вокруг b
и 'существенный' носитель ширины
вокругw0/а.
Заметьте, что произведение двух ширин
постоянно. И она должна быть ограничена
снизу фиксированной константой. Учитывем
также, что , что 1/a
ведет себя подобно частоте. Следовательно:
• если a
>> 1, то ab
- широкое окно, в то время как
является очень узким вокруг малой
частотыw0/a:
это преобразование наиболее чувствительно
к низким частотам.
• если a <<
1, то ab
является узким окном и
широка и центрирована вокруг высокой
частотыw0:
этот wavelet имеет хорошую возможность
локализации в пространственной области
и обычно чувствителен к высоким частотам.
Таким образом, мы получили средство, которое воспроизводит корреляцию между продолжительностью и средней частотой, обсужденную во введении: низкие части частоты сигнала имеют тенденцию быть длинными, в то время как высокие частоты, в общем, встречаются на коротких промежутках времени.
Объединяя эти локализующие свойства с условием нулевого среднего и факт того, что ab действует подобно фильтру (свертка), мы видим, что CCWT выполняет локальную фильтрацию и во времени и по масштабу.
При принятии всех этих свойств
вместе, мы естественно подошли к
интерпретации CWT как математического
микроскопа, с оптикой ,
положением b
и глобальным увеличением 1/a
. Кроме того анализ работает в постоянной
относительной ширине полосы частот (
)
так, чтобы это имело лучшее разрешение
в высокой частоте, то есть в малых
масштабах.
Это свойство делает это идеальным средством для обнаружения особенностей (например, разрывы в сигнале или одной из производных), и также свойств, зависящих от масштаба, в частности для анализа фракталов.
3.5. Свойства cwt
Данный допустимый wavelet ,
то есть такой, что
(см.
(5)), соответствующий CWT W
: s(x)
S(a,b) - линейное отображение,
со следующими свойствами:
(1) W - ковариантно при переносе и расширении (изменение масштаба):
(12)
(13)
(2) WY сохраняет энергию сигнала:
(14)
Соотношение (14) означает, что отображение W изометрия из пространства сигналов L2 (R) на закрытое подпространство L2 (R2+ , dadb/a2 ). Эквивалентная формулировка - то, что wavelet W генерирует решение тождества:
(15)
(3) Как следствие, отображение W обратимо, и обратное преобразование - просто сопряженное с W . Таким образом, сигнал s(x) может быть восстановлен из преобразования формулой:
(16)
Это означает что, CWT обеспечивает разложение сигнала как линейное наложение wavelet-ов ab с коэффициентами S(a,b) — точно так, как для преобразования Фурье.
(4) Проекция из L2(R+2, dadb/a2) на W , то есть пространство wavelet преобразований, является составным оператором, чьё ядро
(17)
является автокорреляционной функцией . Это также называется воспроизводящим ядром, потому что формулировка выше означает в точности, что функция f L2(R2+, dadb/a2) - это CWT некоторых сигналов тогда и только тогда, когда она удовлетворяет свойству воспроизведения:
(18)
Замечание: соотношение (16) означает, что wavelet , используется и для анализа и для восстановления. Это необязательное ограничение. Действительно, можно восстанавливать сигнал, используя wavelet c отличающийся от анализирующего wavelet-а :
(19)
если c и удовлетворяют условию совместимости
.
(20)
Таким образом, можно получать более простые формулы, в частности для восстановления (как показано первоначально Morlet-ом).