6.1. Пакеты вейвлетов.

Wavelet -преобразование сигнала выполняется путем его пропускания через каскадно-соединенные двухканальные схемы (рис. 12). При этом каскадирование производится по низкочастотной области. Причина этого в том, что неявно предполагается, что эта область содержит больше информации об исходном сигнале. В результате получается «однобокое» дерево. Данное предположение оправдано для многих реальных сигналов. В самом деле, оно означает, что наш сигнал является низкочастотным на большом интервале времени, а высокочастотные составляющие появляются на коротком интервале. Однако для некоторых сигналов это предположение не выполняется. Метод пакетов wavelet -ов основан на определении того, по какой области на данном уровне выгоднее производить каскадирование. Для этого вначале производится каскадирование по обеим субполосам. В результате получается так называемое «полное», «сбалансированное» дерево.

Будем придерживаться следующей схемы: раскладываем пространство V₀на два ортогональных подпространства V_-1и W_-1, затем разложим пространство V_-1еще раз(V_-1V_-2и V_-1W_-2) как в обычной схеме , но в дополнение разложим пространство W_-1на W_-1V_-2и W_-1W_-2и так далее , т.е будем расладывать дальше не только низкочастотную (V) составляющую , но и высокочастотную (W). Общая схема разложения будет иметь вид двоичного дерева (рис. 13.).

На каждом уровне пакета находятся пространства, отвечающие за 2^-jчасть спектра пространства V₀.Пакетом всплесков является любой подграф G полного графа разложения, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. V₀принадлежит G

2. В каждой из вершин граф G либо делится на две части, либо прерывается

Получим формулу вычисления базисов для соответствующих подпространств. Через W_k^j, где j<0, 0<=k<2^-jбудем обозначать подпространство, находящееся на уровне j и на месте k слева (нумерация начинается с нуля),

Рис. 13. Граф пакета всплесков.

т.е. W₀^j=V_j, W₀^j= W_j,а через_k^j-будем обозначать функцию, чьи сдвиги образуют ортонормированный базис пространства W_k^j.

Справедливо следующее выражение:

где i=0,1; m₀- функция, определяемая масштабирующим уравнением, m₁(w)=e^jwm₀(w)* .

Можно получить более общий результат:

где j<0, 0<=k<2^-j, a₁,a₂,a₃,..a_j– двоичное представление числа k.Сложность вычисления полной схемы составляет О(NlogN ) (в отличие от стандартной схемы, где сложность составляет О(N)).

Далее, на основе введенной функции стоимости определяется наилучший путь по этому дереву. Если исходный блок wavelet -фильтров был ортогональным, то и схема, соответствующая любой конфигурации дерева будет ортогональной, так как она есть не что иное, как каскадное соединение ортогональных блоков.

Таким образом, получается базис, адаптированный к сигналу. Отметим, что эта адаптация не требует обучения или знания статистических свойств сигнала. Wavelet -преобразование (DWT), как и STFT являются частными случаями этого базиса. Адаптивность достигается за счет увеличения вычислительной стоимости. Существует быстрый алгоритм поиска наилучшего базиса.

Пакеты wavelet были разработаны и исследованы Койфманом и Викерхаузером. В качестве функции стоимости они использовали энтропию, понимаемую ими, как «концентрацию» числа коэффициентов , требующихся для описания сигнала. Данная функция будет большая, если коэффициенты примерно одной величины и мала, если все, кроме нескольких коэффициентов близки к нулю. Таким образом, любое усреднение приводит к увеличению энтропии. Функция стоимости должна быть аддитивной. Это означает, что

и

Под энтропией в данном контексте понимается величина

,

где .

Данная энтропия вычисляется для каждого узла полного дерева пакета wavelet. Далее сравнивается сумма энтропии двух потомков и энтропия их предка на дереве. Если энтропия предка оказалась меньше, отказываемся от его декомпозиции, то есть «обрезаем» дерево. Алгоритм рекурсивно продолжается до достижения вершины дерева. Доказано, что данный алгоритм приводит к наилучшему базису относительно .