5. Применение дискретного wavelet-преобразования.

5.1. Применение wavelet-преобразования для сжатия сигнала.

Пусть у нас есть некоторая дискретная временная реализация случайного процесса. Если случайный процесс является стационарным в широком смысле, то соседние отсчеты являются коррелированными друг с другом. То есть у нас есть некоторая избыточная информация. Применяя к реализации преобразование Фурье, мы получим некоторую реализацию в частотной области, причем соседние отсчеты не будут коррелированны друг с другом. То есть вся информация будет сосредоточена в нескольких отсчетах, а все остальные будут близки к нулю.

К большому сожалению, в реальных сигналах не соблюдается свойство стационарности, поэтому при применении преобразования Фурье отсчеты в частотной области опять будут коррелированны друг с другом, и опять будет некоторая излишняя информация. Это происходит, потому что преобразование Фурье не предназначено для анализа нестационарных сигналов и разложение нестационарного сигнала по базису из синусов или косинусов не очень удачно. Wavelet-преобразование более приспособлено для анализа нестационарных сигналов. При переходе из временной области в область время/масштаб только небольшое количество коэффициентов будет существенно отличаться о нуля и, практически, вся информация, содержавшаеся в исходной выборки будет представлена в меньшем количестве коэффициентов - DWT-сигнала x

Определим некоторый порог _i(зависит от уровня разложения wavelet) и выполним следующее преобразование:

Ясно, что чем больше порог _i, тем больше нулевых коэффициентов ( большая степень сжатия), но меньший процент сохраненной энергии сигнала.

Очевидно, что на количество ненулевых коэффициентов так же влияет выбор подходящего базиса. По различным оценкам степень сжатия при разложении по "хорошему" базису и наилучшему различается на 15-20 %. Очевидно, что базис будет зависеть от вида анализируемого сигнала, таким образом, возникает проблема выбора базиса для разложения сигнала. Для достижения хороших результатов нам необходимо, чтобы как можно больше информации о сигнале было сосредоточено в наименьшем количестве коэффициентах разложения.

5.2. Удаление шума из сигнала.

Пусть X_i=k_i+v_i, где v_iN(0,²) – белый шум. i=0..N-1

Идея удаления шума из сигнала тоже базируется на определении некоторого порога _iи вычитания его из коэффициентов wavelet-перобразования сигнала. Существуют два правила "hard" и "soft".

Донохо (Donoho) в 1990 году показал что для гауссовского шума оптимальный выбор , гдеоценивается из верхнего (fine) уровня Wavelet-разложения.

Правило "hard" хорошо работает даже в случае произвольного шума.

6. Адаптивные ортогональные преобразования.

Wavelet -преобразование сигнала является сигнально-независимым. Октавополосное разбиение спектра, производимое им, подходит для большинства, но не для всех реальных сигналов. Желательно было бы иметь преобразование, адаптированное к сигналу. Это эквивалентно тому, чтобы преобразование было бы способно произвольно менять структуру разбиения частотно-временной плоскости, в зависимости от сигнала. Каскадно-соединенные блоки wavelet -фильтров позволяют достичь этого. Здесь будут рассмотрены адаптивные преобразования, которые на основе введенной функции стоимости реализуют произвольное разбиение частотно-временной плоскости сигнала.