1.Стандартное преобразование Фурье
Стандартное преобразование Фурье является весьма популярным инструментом, использующимся в спектральном анализе сигналов. Собственно сам термин "спектр " возник именно для описания результата преобразования Фурье.
Рассмотрим далее более подробно соотношения, описывающие преобразование Фурье с целью проанализировать его достоинства и недостатки.
В результате преобразования Фурье сигнал преобразуется в комплекснозначную функцию частоты, которая показывает насколько "много" той или иной гармоники в данном сигнале.
Формулы, представляющие прямое и обратное преобразование Фурье, представлены ниже
В приведенных формулах t - время, f-частота, а x - собственно сигнал.
Однако заметим, что вышеуказанная формула дает нам глобальное описание свойств сигнала - то есть некоторую агрегативную информацию обо всех частотах, присутствующих в сигнале на всем промежутке времени.
Таким образом, преобразование Фурье дает необходимую информацию о "степени присутствия " данной частоты в спектре данного сигнала.
Подобная информация может, однако, представлять интерес для визуального анализа только в случае если сигнал является стационарным - то есть его спектральные составляющие не претерпевают значительных изменений во времени.
В случае же нестационарного сигнала преобразование Фурье дает достаточно плохо интерпретируемые результаты, что может быть легко продемонстрировано на следующем примере.
В далее рассматриваются некоторые демонстрационные примеры, выполненные с использование системы MATLAB (приведены фрагменты программ и графики, иллюстрирующие результаты обработки).
1.1. Пример анализа с использованием преобразования Фурье.
Рассмотрим следующий сигнал x(t) в виде суммы гармонических сигналов :
t=1:100;
x(t)=cos(0.1*t*(2*pi))+cos(0.25*t*(2*pi))+cos(0.3*t*(2*pi))+cos(0.45*t*(2*pi));
Рис. 1. Сумма гармонических сигналов различной частоты.
Данный сигнал содержит четыре основных составляющих с частотами 0.1, 0.25, 0.3, 0.45 (гц) соответственно, при этом сигнал является стационарным.
Его преобразование Фурье представлено на рис. 2.
Рис. 2. Спектр сигнала x(t)суммы синусов
Заметим, что на графике преобразования Фурье отчетливо прослеживаются пики в районе частот 0.1, 0.25, 0.3, 0.45 соответственно; при этом высоты пиков одинаковы, что становится очевидным при анализе вида сигнала. В данном случае картина представляется предсказуемой и хорошо интерпретируемой.
Рассмотрим теперь сигнал нестационарного типа (рис.3):
t1=1:25; t2=25:50; t3=51:75; t4=76:100;
x(t1)=cos(0.1*t1*(2*pi));
x(t2)=cos(0.25*t2*(2*pi));
x(t3)=cos(0.3*t3*(2*pi));
x(t4)=cos(0.45*t4*(2*pi));
Рис. 3. Нестационарный сигнал.
Он уже не обладает свойством стационарности. Более того, его частота меняется во времени, постепенно повышаясь.
График его преобразования Фурье выглядит так:
Рис.4. Спектр нестационарного сигнала.
Обращает на себя внимание тот факт, что представленные графики преобразований Фурье достаточно похожи. На обоих графиках мы наблюдаем пики на частотах 0.1, 0.25, 0.3, 0.45 . Конечно, на последнем рисунке мы наблюдаем множество мелких пиков, что обусловлено резкой сменой частот, однако чисто визуально данные спектры чрезвычайно схожи.