3.2.Определение непрерывного wavelet - преобразования

Непрерывное wavelet-преобразование (Continue Wavelet Transform - CCWT) было разработано как альтернатива кратковременному преобразованию Фурье с целью преодолеть сложности, связанные с разрешением по времени и частоте.

Анализ с помощью wavelet-преобразования выполняется примерно таким же образом, как и анализ с помощью кратковременного преобразования Фурье в том смысле, что сигнал умножается на некоторую функцию (wavelet), подобную окну в STFT, и преобразование выполняется отдельно для различных сегментов сигнала во временной области. Однако существуют два основных различия между STFT и CWT:

• При CWT не выполняется преобразование Фурье взвешенного сигнала.

• При CWT ширина окна меняется по мере того, как вычисляется преобразование для каждой из компонент спектра, что, возможно, является самой существенной особенностью wavelet-преобразования.

Математическое определение непрерывного wavelet-преобразования имеет вид:

, (1)

где s - сигнал, и _ab - анализирующая функция (мы обозначаем переменную времени за x). Для преобразования Фурье и для CWT , функция анализа _ab получена действием группы преобразований над базисной (или порождающей) функцией  (mother wavelet). Существенная разность между двумя этими способами в представлении частотного параметра a. Для CWT:

(2)

Действие a на функции : расширение (при a > 1), или сжатие (при a< 1): форма функции не изменяется. Что касается b, это - просто перенос.

В отличие от CWT, при STFT _ab : . Это означает что, зависимость отa - это модуляция (1/a ~ частота); окно имеет постоянную ширину, но чем ниже a, тем большее число колебаний в окне _.

Термин "wavelet" означает "маленькая волна" русский аналог – слово "всплеск". Малость соответствует условию того, что эта функция ("окно") имеет конечную длину. Волна соответствует условию осцилляции. Термин "материнская" подразумевает, что функции с разными носителями, используемые в преобразовании, получены из одной главной функции ("mother wavelet"). Другими словами, материнская волна - прототип для генерации других функций.

Рис.7. Сжатая и растянутая версия материнского wavelet Mexican Hat в зависимости от параметра a.

Термин "сдвиг" имеет тот же смысл, что и в STFT; он определяет местонахождение окна по оси времени, по мере того как окно сдвигается. Однако, того частотного параметра, который был в STFT, теперь нет. Вместо этого появился масштаб, который определяется как 1/частота. Частота в большей степени специфична для STFT. Масштаб, используемый в wavelet-преобразовании, похож на тот масштаб, который применяется в картографии. Как и на карте, крупный масштаб соответствует глобальному обзору (сигнала), а малый масштаб - подробному. Подобно этому, в терминах частоты, низкая частота (крупный масштаб) соответствует общей информации о сигнале (обычно охватывает весь сигнал), в то время как высокая частота (мелкий масштаб) соответствует подробной информации о скрытых особенностях сигнала (обычно продолжается не очень долго). К счастью, на практике мелкий масштаб (высокая частота) не занимает всей длительности сигнала. Он появляется время от времени в виде кратковременной "вспышки". Масштабирование, как математическая операция, растягивает либо сжимает сигнал. Крупный масштаб соответствует растянутому сигналу, а более мелкий - сжатому. На языке функций, по заданной функции f(t) можно построить функцию f(at), являющуюся сжатой версией исходной при a > 1, и растянутой версией f(t) при a < 1. Однако, в определении wavelet-преобразования масштаб стоит в знаменателе, поэтому выполняется обратное преобразование, т.е. a > 1 растягивает сигнал, а a < 1 - сжимает. Такая интерпретация масштаба и будет использоваться в дальнейшем.

CWT задается базисной формулой преобразования, которая выглядит, согласно (1) и (2):

(3)

где a > 0 - параметр масштаба и bR - параметр сдвига. В соотношении (3), s - сигнал с конечной энергией, и функция , анализизирующий wavelet, считается хорошо локализованным и в области времени и в области частоты. Кроме того,  должен удовлетворять условию допустимости, которое гарантирует обратимость CWT, и в большинстве случаев, может быть сокращено к требованию, что  имеет среднее значение равное нулю:

Так как _ab действует подобно фильтру (как свертка), то CWT: s  S обеспечивает локальную (то есть полосовую) фильтрацию как в пространстве (b) и по масштабу (a). Объединяя эти особенности с локализирующими свойствами (t) и ее преобразованием Фурье мы видим, что CWT работает в постоянной относительной ширине полосы частот (). Таким образом, это более эффективно в высокой частоте, то есть при малых масштабах, в частности для обнаружения особенностей в сигнале.

Кроме того, преобразование W_: s(x)  S(a, b) может быть точно инвертировано:

Это означает, что CWT обеспечивает декомпозицию сигнала, как линейную суперпозицию wavelet-ов _ab с коэффициентами S(a,b) - аналогия с интегралами Фурье очевидна.

Как ясно из (3), CWT - проекция сигнала, в смысле L², на совокупность , сгенерированных из одной функцииY переносом и расширением:

(4)

Шляпка обозначает преобразование Фурье. Таким образом преобразование S(a, b) лежит в полуплоскости R²₊ = {a > 0, b О R}. Wavelet  должен удовлетворять ряду условий.

(i) Для корректности формулировки (x), и, следовательно, также , должен быть квадратично интегрируем:  L² (R)

(ii)  должен быть допустимым, то есть следующий интеграл должен сходиться:

(5)

Это условие подразумевает

(6)

Которое эквивалентно условию равенства нулю среднего значения

. (7)

(iii) Чтобы получать эффективное преобразование (хорошее полосовое фильтрацию, и в пространстве времени и в пространстве частоты), (x) и должны быть оба хорошо локализованы (достаточно потребовать, чтобы, тоже было интегрируемо  L¹  L²), но на практике будет полезна лучшая локализация).

(iv) В дополнение к (ii), может требоваться, чтобы  имело некоторое число обращающихся в нуль моментов:

(8)

(Это свойство улучшает эффективность  при обнаружении особенностей в сигнале, так как это слепо к многочленам до порядка N).

(v) В заключение, часто требуется, чтобы было вещественно, и= 0 для w < 0 (такой также называется аналитическим сигналом или функцией Харди).

Как мы увидим далее, wavelet  удовлетворяющий, этим требования генерируется из (4) преобразованием W_ : s(x)  S(a,b), которое производит хороший анализ сигнала, и обеспечивает эффективное восстановление S(a, b)  s (x) сигнала из преобразования.