3.7. Дискретизация непрерывного wavelet-преобразования.

Параметры аиbменяются непрерывно и, поэтому, множество базисных функций избыточно. Необходима дискретизация значенийа иb,при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Можно показать, что дискретизация должна осуществляться следующим образом:

. (25)

Возможен произвольный выбор параметра . Без потери общности, выберем. Из (25) видно, что параметр местоположения зависит от параметра масштаба. С увеличением масштаба увеличивается размер шага сдвига. Это интуитивно понятно, так как при анализе с большим масштабом детали не так важны.

Для дискретных значений аи bwavelet -функции представляются в виде:

.

Дискретизированное преобразование такженазывается wavelet -преобразованием. Однако, кажется более правильным ввести по аналогии с терминологией преобразований Фурье название рядов wavelet непрерывного времени (CTWS), так как мы имеем дело с дискретным представлением непрерывного сигнала. CTWS определяется путем дискретизации CWT:

.

Восстановление из последовательности возможно в том случае, если существуют числаи, такие что

,

для всех в. Это означает, что хотя реконструкцияиз ее wavelet-коэффициентов может не совпадать точно с, она будет близка к ней в среднеквадратическом смысле. Еслите существует тонкий фрейм, и, то возможно полное восстановление и семейство базисных функцийобразуют ортогональный базис. Тогда

.

Если базисные функции нормализованы, то .

Итак, мы дали определение wavelet -преобразования и ряда wavelet-ов для функций непрерывного времени по аналогии с соответствующими формулами для преобразования и ряда Фурье.

3.8. Практическое использование непрерывного wavelet-преобразования

CWT нашел широкое многообразие приложений в различных прикладных областях, связанных с обработкой сигналов. Во всех случаях CWT прежде всего используется для анализа переходного процесса, обнаружения резких изменений в сигнале или сравнения этого с данной моделью.

• Звук и акустика:

Первые приложения CWT были в области акустики. Несколько примеров - музыкальный синтез, речевой анализ и моделирование звуковых систем, летучих мышей и дельфинов. Другие примеры включают различные задачи в подводную акустику, типа развязывания различных компонент подводной преломляющейся волны, и идентификация препятствия.

• Геофизика:

В этой области приложений впервые было предложено использование wavelet (в работах J.Morlet) для анализа записи микроземлетрясений, используемых в нефтевой промышленности. CWT применялся к анализу различных типов геофизических данных, например в гравиметрии (колебания локальной гравитационной области), в сейсмологии (время поступления различных волн), в геомагнетизме (колебания магнитного поля Земли).

• Спектроскопия:

Это было одно из самых ранних и наиболее успешных приложений, в частном для ядерной магнитно-резонансной (NMR) спектроскопии , где метод доказал чрезвычайную эффективность в вычитании нежелательных спектральных линий или отфильтровывания фонового шума.

• Медицинские приложения:

CWT использовался для анализа или контроля различных электрических или механических явлений в мозге (EEG) или сердце (ECG).

• Индустриальные приложения:

Важный аспектами применения CWT является контроль, например обнаружение аномалий в функционировании ядерных, электрических или механических инсталляций.

• распознание образов:

Стандартная задача в искусственной системе технического зрения является опознавание предмет по его форме. Недавно разработанный метод основан на представлении контура предмета как кривой в комплексной плоскости и анализе его с помощью CWT .