13. Методика вивчення тотожних перетворень в основній школі. Перетворення раціональних та ірраціональних виразів.

До тотожних перетворень раціональних ви­творення раціональних виразів, відмінних від цілих, які вивчаються у 8 класі, належать скорочення раціональних дробів, додавання і віднімання таких дро-бів, множення, піднесення до степеня з натуральним показником, ділення дробів і тотожні перетворення раціональних виразів, до складу яких входять цілі і дробові вирази.

Під час скорочення раціональних дробів, що спирається на ос- новну властивість дробу, типовою помилкою є такі: ; ; .

Одним із способів зменшення кількості названих помилок є об-числення даного й одержаного після «перетворення» виразу. Для никнення помилок треба зро­бити пряму вказівку про не припусти-мість таких перетворень ще при введенні нового матеріалу і пояс-нити учням, чому саме таке перетворення є помилковим.

Перетворення суми і різниці раціональних дробів з різними знаменниками спирається на вміння знаходити найпростіший

спільний знаменник.

Доцільно сформулювати правило (алгоритм) відшукання най­простішого спільного знаменника:

1) скласти добуток найменшо­го спільного кратного модулів коефіцієнтів знаменників даних дробів і степенів кожної змінної з найбільшим показником, з яким змінна входить до знаменників цих дробів;

2) знайти додат­кові множники даних дробів; для цього досить записати спільний знаменник у вигляді добутку двох співмножників, з яких один - знаменник даного дробу, тоді другий буде додатковим множ­ником його;

3) знайти добуток чисельника кожного дробу на до­датковий множник і записати спільний знаменник.

Аналогія у виконанні дій множення і ділення раціональних дробів і звичайних дробів як числових виразів полегшує сприй­мання учнями цих тотожних перетворень. Разом з тим, виконую­чи перетворення, треба враховувати, що два дробово-раціональ­ні вирази називаються тотожно рівними, якщо вони мають одну й ту саму область визначення і на ній тотожно рівні. Тому, перетворюючи у дріб добуток дробів , дістанемо дріб , який має ту саму область визначення що і добуток . Отже ці вирази тотожно рівні.

Основною метою перетворення раціональних виразів, до скла­ду яких входять цілі і дробові вирази, є перетворення їх у дріб, чисельник і знаменник якого є цілими раціональними виразами. Може трапитись так, що одержаний внаслідок перетворення дріб не тотожно рівний даному раціональному виразу внаслідок зміни області визначення. У таких випадках у відповіді разом зі знай­деним дробом треба зазначати множину, на якій розглядається цей дріб.

Приклад: Перетворити в раціональний дріб вираз . Розв’язання:

; .

У курсі алгебри основної школи учні стикаються з ірраціо­нальними виразами (щоправда, термін не вживається) у зв'язку з вивченням арифметичного квадратного кореня. На цьому етапі навчання розглядаються такі перетворення ірраціональних вира­зів: перетворення кореня із добутку, дробу, степеня, множення і ділення коренів, винесення множника з-під знака кореня, вне­сення множника під знак кореня, звільнення від ірраціональнос­ті в знаменнику, зведення подібних доданків, що містять корені. Символ вживається лише для арифметичних коренів.

Зазначимо, що вже при вивченні коренів використовують поняття не тільки раціонального дробу, а й дробу , де а і b - будь-які вирази, у тому числі й такі, що містять корені. Треба мати на увазі, що в 10 класі вивчатимуться далі ірраціо­нальні вирази, які містять корені будь-якого степеня і пов'я-зані з ними степені з раціональними показниками. Для вира-зів, що містять корені, поняття стандартного виразу встановле­не стосовно тих виразів, які містять ли-ше дії множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня. Якщо вираз є раціональ­ним щодо виразів вигляду , то їх перетворення відбувається так само, як і зведення раціональних виразів до стандартного ви­гляду.

У курсі алгебри 8 класу перетворення виразів, що містять ква­дратні корені, передбачають використання означення арифметич­ного кореня, тотожностей Тому належну ува­гу треба приділити засвоєнню суттєвих ознак квадратного коре­ня, що входять в означення. Найбільше помилок учні роблять, виносячи з-під знака кореня числові і буквені множники і внося­чи їх під цей знак. Для усунення формалізму в засвоєнні навичок і умінь виконання тотожних перетворень різних виразів треба поряд із введенням основного завдання перетворення (зведення до стандартного вигляду) домагатись усвідомлення учнями того, що у кожному конкретному випадку метою тотожного перетво­рення є подання виразу у вигляді, зручному для розв'язування поставленої задачі.