9. Методика вивчення натуральних чисел в основній школі. Формування в учнів обчислювальних умінь і навичок. Подільність чисел.

Основні відомості про натуральні числа і дії над ними учні дістають вперше в початковій школі. Там передбачено навчитися читати, записувати, порівнювати числа в межах мільйонів, виконувати нескладні усні і письмові обчислення (додавання і віднімання чисел в межах мільйона, множення дво-, трицифрових чисел на, одно-, дво- і трицифрове число, ділення три-, чотири-, п'яти цифрового числа на одно- і двоцифрове числа).

Відомості про натуральні числа в 5 класі повторюються, систематизуються, поглиблюються, уточнюються і розширюються в таких основних напрямках: 1) поглиблення знань учнів про нумерацію багатоцифрових чисел; 2) розкриття ролі нуля як числа і дії натуральних чисел з нулем; 3) систематизація відомостей про чотири арифметичні дії, про зв'язок між прямими і оберненими діями, формування умінь виконання дій над багатоцифровими числами; 4) узагаль­нення знань учнів про закони арифметичних дій і застосування їx до раціоналізації обчислень.

Поняття «натуральне число» належить до первісних неозначуваних понять. У теоретичних курсах зміст його розкривається не­прямим шляхом через систему аксіом, наприклад аксіом Пеано. У теорії множин натуральне число озна-чається як потужність скінченної множини.

Перш ніж розглядати питання про читання і записування бага­тоцифрових натуральних чисел, треба повторити з учнями понят­тя'про розряди і розрядні одиниці, класи десяткової системи чис­лення, співвідношення між розрядними одиницями, записування числа у вигляді суми розрядних одиниць, домогтися правильного вживання учнями слів «цифра» і «число». Цифри - це умовні знаки для по­значення чисел. У десятковій системі числення є тільки десять цифр, за допомогою яких позначається безліч натуральних чисел. Під нумерацією розуміють спосіб читання (усна нумера­ція) і записування (письмова нумерація) чисел.

Практика свідчить про те, що для учнів, які навчилися виконувати чотири дії над натуральними числами в початковій школі, ви­конання дій над багатоцифровими числами не становить жодних труднощів.

Їхню увагу треба зосередити на питаннях теоретичного об­ґрунтування правила виконання кожної дії, розв'язуванні складніших комбінованих вправ, раціоналізації обчислень, розв'язування складніших текстових задач. Для тих, у кого є прогалини й знаннях і навичках, основну увагу варто зосередити на виробної* ні міцних навичок виконання дій. Удосконалення навичок усних обчислень важливе для всіх учнів.

Отже, насамперед доцільно провести діагностику знань, навичок і умінь учнів з тим, щоб ефективно здійснювати диференційоване навчання, з погляду як складності навчального матеріалу, так і рівня вимог до окремих категорій учнів.

Додавання. Оскільки чинна програма не передбачає вивчення в школі опера­цій над множинами, такий методичний варіант прийняти нині неможливо. Найсприятливішим у сучасних умовах є методичний підхід, за якого дія додавання натуральних чисел не означається. Вважається, що поняття додавання інтуїтивно зрозуміле для уч­нів з досвіду навчання в початковій школі і з практичного досвіду.

Застосовуються обидва закони додавання: перестав­ний і сполучний. Треба приділити достатню увагу додаванню, яке вимагає переходу через десяток.

Важливо наголосити учням на застосуванні законів додавання для раціоналізації обчислень, розглянувши приклади типу 897+ 269 + 3; 382+ 801+208+189.

Дією додавання розв'язуються дві різні за матичним змістом задачі.

Віднімання. Після розв'язування вправ на віднімання двох натуральних чисел учні усвідомили таке: дія віднімання не­можлива в множині натуральних чисел, якщо зменшуване менше, ніж від'ємник. Коли зменшуване більше за від'ємник або дорів­нює йому, то різниця завжди існує і дорівнює певному натураль­ному числу в першому випадку і нулю - в другому.

Множення. Вже з початкової школи учні знають, що множенням натуральних чисел називають додавання однакових доданків. На етапі повторення важливо, щоб учні після розв'я­зування певної кількості прикладів змогли виконати узагаль­нення і сформулювати означення для двох чисел а і by вигляді: помножити число а на число b означає знайти суму b доданків, кожний з яких дорівнює а. Для добутку а * 1 потрібна спеціа­льна домовленість (означення), що а • 1 = а. Так само для дії Дія ділення. Дія ділення означається аналогічно дії від­німання як дія, обернена множенню: поділити число а на число b означає знайти таке число х, при множенні якого на число Ь діс­танемо число а. Це означення треба закріпити усними вправами типу: поясніть, що означає поділити число 96 на 32. Внаслідок міркувань за означенням учні складають рівність х • 32 = 96.

Зразу ж можна обґрунтувати рівність 0 : а = 0. Вона випливає ч рівності 0 • а - 0. «Заборона» ділення на нуль приймається за означенням. Проте доцільність прийняття його можна поясни­ти відповідною рівністю, записаною на основі означення дії ді­лення.

Першими вводяться поняття «дільник числа» і «кратне чис­лу». Слід мати на увазі, що з терміном «дільник» учні вже зустрі­чались в початковій школі, і він позначав компонент дії ділення. Треба наголосити, що в терміни «дільник» і «дільник числа» вкла­дається зовсім різний зміст, вони позначають різні поняття.

Поняття «дільник числа» і «кратне числу» учні найкраще за­своюють, розв'язуючи вправи. Треба вимагати від них уміння чітко формулювати відповідні означення. Варто звернути увагу на те, що будь-яке натуральне число має скінченну кількість діль­ників, з яких є найбільший і найменший, і нескінченну кількість кратних, серед яких є найменше і немає найбільшого.

Вводячи поняття «просте число», «складене число», треба сте­жити за тим, щоб учні правильно формулювали означення і в разі наявності помилки в сформульованому означенні зразу ж наводили контрприклад.

Важливим завданням курсу алгебри є вдосконалення обчислювальної культури учнів, формування в них умінь виконувати обчислення за допомогою калькулятора, робити прикидку і оцінку результатів обчислень. Програма перед­бачає використання калькулятора для виконання арифме­тичних дій над точними і наближеними значеннями, зна­ходження наближеного значення степеня і квадратного кореня, обчислення значень тригонометричних функцій, обчислень за формулами. Обчислювальна практика.пов'я­зується з розглядом різноманітних величин, хоч вивчення величин у програмі не виділено в окремий розділ. Вико­нання дій з величинами супроводить розв'язування задач, особливо тих, які відображають зв'язки математики з ін­шими дисциплінами.

У цілому обсяг обчислювальної роботи під час вивчен­ня алгебри в 7—9-х класах досить великий, тут поєдну­ються різні види і засоби обчислень, і після закінчення основної школи учні повинні володіти цілим комплексом знань, навичок і умінь, пов'язаних з виконанням обчислень. У зв'язку з цим є потреба розглянути це питання у певній системі, взявши, наприклад, за основу поділ обчислень за методами їх виконання і характером числових даних. За методами обчислення поділяють на усні, письмові та обчислення, виконувані'з використанням допоміжних засо­бів: математичних таблиць, графіків; обчислювальних при­ладів. За характером числових даних обчислення поділя­ють на точні і наближені.