Тема: Предмет теории вероятностей (тв), ее значение для экономической науки. Случайные события. Алгебра событий.

§ 1. Элементы комбинаторики.

Пусть М – некоторое конечное множество n различных элементов (примеры: множество студентов в группе; множество четных натуральных чисел от 1 до 100; множество деталей поступивших на обработку и т.д.).

Множество можно обозначать: М = {a,b,c…,e}, a,b… – элементы множества или генеральная совокупность n элементов без повторений.

Определение 1. Размещением без повторений из n элементов по m называются всякая упорядоченная часть множества М, содержащая m элементов (так наз. выборка из генеральной совокупности).

Пример. . Размещение из 3-х по 2 это: ; ; ; ; ; . Число размещений из n по m обозначается:

Пример. ;

.

Определение 2. Всякое упорядоченное конечное множество называется перестановкой, образованной из его элементов. Можно сказать, что перестановка, это размещение из n элементов по n.

Например. Множество , составим перестановки из элементов этого множества, в данном случае из 3-х элементов (т.е. какие цифры можно составить из 3-х цифр): ; ; ; ; ; .

Определение 3. Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются размещения из n элементов по m, которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Например. . Сочетание из 3-х элементов по 2: ; ; .

Число сочетаний из n по m вычитается по формуле:

.

§ 2. Предмет теории вероятностей.

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие 3 вида: достоверные, невозможные и случайные.

Определение 1. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в результате проведения некоторого опыта или некоторого комплекса мероприятий S (или если будет осуществлена определенная совокупность условий).

Достоверное событие будем обозначать: U.

Примеры.

1) При бросании игральной кости выпадает целое число очков.

2) Вода в чайнике при температуре 100⁰ закипит.

Определение 2. Невозможным называют событие, которое никогда не произойдет при проведении данного опыта S.

Невозможное событие будем обозначать: V.

3) Событие: «вода в сосуде находится в твердом состоянии» никогда не произойдет, если в помещении температура 20⁰.

4) студент получит оценку «отлично», если он не знает материала дисциплины.

Определение 3. Случайным называют событие, которое при проведении опыта S может либо произойти, либо не произойти.

Случайные событие будем обозначать: А, В, С, ...

Примеры.

5) Если брошена игральная кость, то может выпасть любое число очков от 1 до 6. Событие: при бросании игральной кости выпало число очков равное 3 – случайное.

6) Студент выучил 10 билетов из 20-ти. Событие: он вытянул тот билет, который знает – случайное.

7) Покупка лотерейного билета, на который выпадает выигрыш событие случайное.

8) Новый компьютер ни разу не выйдет из строя в течение определенного срока тоже событие случайное событие есть следствие действия очень многих случайных причин.

Например, в примере 5 (бросали кости): сила с которой брошена кость, форма, размер кости, поверхность на которую брошена кость и многие другие.

Невозможно учесть влияние на результате всех этих причин, т.к. число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому т.в. не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. Это предсказать невозможно. Иначе обстоит дело, если рассматриваются события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, при проведении одного и того же опыта, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях.

Достаточно большое число однородных случайных событий, независимо от их конкретной природы подчиняется определенным, так называемым вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей занимается теория вероятностей.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Например, нельзя наперед определить результат одного бросания кости, но можно предсказать с определенной погрешностью число появлений числа очков 3, если кость будет брошена достаточно большое число раз, при этом кость бросают в одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники, в экономике, социологии, политике, юриспруденции, медицине, в теории надежности, теории массового обслуживания, сетевого управления и планирования, в эконометрике, финансовой математике.

В настоящее время многие серьезные задачи решаются с применением теории вероятностей и математической статистики. Теория вероятностей служит базой, обоснованием математической и прикладной статистики. Задачи статистики состоят в том, чтобы по ограниченным данным восстановить с определенной степенью достоверности характеристики, присущие всему набору данных, описывающему изучаемое явление. Математическая статистика используется при планировании и организации производства, контроле качества продукции; прогнозировании поведения различных экономических и иных процессов.

Эконометрические модели в последнее время получили широкое распространение при решении различных экономических задач.