§ 4. Независимые события. Теорема умножения независимых событий.

Определение 1. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: (5)

Подставим (5) в (4), т.е. в формулу: , получим:

, отсюда следует, что событие А не зависит от события В.

Вывод: Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

(6) – это условие принимается за определение независимых событий.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того поразило ли цель другое орудие. События «1-е орудие поразило цель» и «2-е орудие поразило цель» независимы.

Пример 1. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели 1-м орудием (событие A): P(A) = 0,8, а вторым (событие В): P(B) = 0,7. События А и В независимые и по теореме умножения имеем: P(AB) = 0,8·0,7 = 0,56.

Замечание. Если события А и В независимы, то независимы также события: А и ; и В; и .

Определение 2. Несколько событий называют попарно-независимыми, если каждые два из них независимы.

Определение 3. Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие из теоремы умножения. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих событий:

.

Пример 2. Найти вероятность совместного появления герба (орла) при одном бросании двух монет.

— Вероятность появления герба первой монеты (событие А): .

— Вероятность появления герба второй монеты (событие В): .

События А и В независимые, поэтому: .

Пример 3. Имеется 3 ящика, в каждом по 10 деталей. В 1-м ящике 8, во втором 7, в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся стандартными.

Решение.

Из 1-го ящика вынули стандартную деталь (событие А): .

Из 2-го ящика вынули стандартную деталь (событие В): .

Из 3-го ящика вынули стандартную деталь (событие С): .

Вероятность того, что все 3 детали окажутся стандартными:

.

§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий: , независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

,

где А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событии ; - вероятности противоположных событии: .

Следствие: Если события имеют одинаковую вероятность равную P, то вероятность появления хотя бы одного из них: .

( , вероятности противоположных событий ).

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из 3-х орудий: ; ; . Найти вероятность хотя бы одного попадания (события А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Пусть - попадания 1-го, 2-го и 3-го орудий соответственно, эти события независимы. Вероятности противоположных событий: ; ; . Искомая вероятность: .