§ 2. Законы распределения вероятностей дсв.
Для задания ДСВ надо перечислить все ее возможные значения и указать их вероятности.
Определение 4. Законом распределения ДСВ называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формул) и графически.
Табличное задание закона распределения вероятностей ДСВ имеет вид:
Х |
|
х1 х2 … хn |
Р |
|
p1 p2 … pn |
→ Соответствующие вероятности
События X = x1, X = x2,…X = xn образуют полную группу и следовательно: сумма вероятностей: p1 + p2 + … + pn = 1. если множество возможных значений СВ Х бесконечно (счетно), то ряд p1 + p2 + …– сходится и его сумма равна 1.
Законы распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (xi,pi) и соединяют их отрезками прямых, полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых событие А может либо появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянная и равна р, тогда вероятность не наступления: q = 1 – p.
Очевидно, что событие А в n независимых испытаниях, либо не появится, либо появится 1 раз или 2 раз, или 3 раза, или … n раз. Возможные значения случайной величины: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; …; xn+1 = n. Вероятности этих возможных значений можно найти по формуле Бернулли:
(*)
Формула (*) – аналитическое выражение закона распределения, которое называют биномиальным распределением.
– вероятность того, что в n
испытаниях событие А
появится k
раз.
Пример на практ (стр. 67-8, Гмурман).
Рассмотреть самостоятельно: распределение Пуассона и простейший поток событий.
§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Закон распределения полностью характеризует случайную величину, но часто он неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда удобно пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. Одной из важных характеристик является математическое ожидание.
Определение 5. Математическим ожиданием (МО) ДСВ называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина Х принимает значения: х1, х2, …, хn; вероятности которых равны p1,p2,…,pn соответственно. Тогда:
.
Из определения следует, что МО ДСВ есть величина постоянная (неслучайная величина).
Пример. Найти МО СВ Х, заданной законом распределения:
Х |
3 |
5 |
2 |
Р |
0,1 |
0,6 |
0,3 |
Решение.
.
Пусть проведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла:
m1 раз значение х1;
m2 раз значение х2;
……
mk раз значение хk.
При этом:
.
Тогда сумма всех значений, которые
принимает СВ Х равна:
.
Найдем среднее арифметическое всех значений, принимаемых СВ:
,
или
.
Видим, что
– есть относительная частота W1
значения х1;
– есть относительная частота W2
значения х2;…;
– есть относительная частота Wk
значения хk.
С учетом этого:
.
Если число испытаний достаточно велико, тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события.
С учетом этого можно написать:
: М.О.Х.
Итак, получили,
что
.
Вероятностный смысл данного результата: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше значение n) среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ.
Рассмотрим свойства математического ожидания (МО):
МО постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(С·Х) = С·М(Х).
МО произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY) = M(X)·M(Y).
Свойства доказывать самостоятельно.
Пусть производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянная и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях?
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
.
Без доказательства.