§ 5. Классическое определение вероятности.

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Рассмотрим классическое определение вероятности.

Рассмотрим пример. В урне лежит 6 одинаковых шаров, отличающихся только цветом. Шары тщательно перемешаны. В урне 1 белый шар, 2 – красных и 3 – синих. Очевидно, что возможность вынуть из урны цветной (красный или синий) шар больше , чем возможность извлечь белый. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Необходимо дать количественную оценку возможности того, что вынутый наудачу шар будет цветным.

Пусть появление цветного шара это событие А. Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом, элементарным событием или шансом. Элементарные исходы обозначим: . В нашем примере 6 элементарных исходов (6 шаров):

- появился белый шар;

- появился красный шар;

- появился синий шар.

Эти исходы образуют полную группу – попарно несовместных событий и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы, тщательно перемешаны).

Определение 6. Те элементарные исходы эксперимента, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

В нашем примере событию А благоприятствуют 5 исходов ; значит, это событие наступит, если наступит один, любой из этих элементарных исходов событий . В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий ( , ), а элементарное событие (исход, шанс) не подразделяется на другие события. В этом различие между событием А и элементарным событием, элементарным исходом (шансом).

Определение 7. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Вероятность события А находится по формуле: , где

- число элементарных исходов, благоприятствующих событию А;

- число всех возможных элементарных исходов испытания.

В нашем примере: ; , значит .

Из определения вытекают свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1, .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю, .

Свойство 3. Вероятность случайного события А есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: .

§ 6. Относительная частота. Статистическая вероятность.

Определение 8. Пусть опыт, эксперимент S многократно повторяется в одинаковых условиях. Если при выполнении n испытаний некоторое событие А появилось m раз то величину называют относительной частотой появления события А или частостью наступления события в данной серии из n испытаний.

Примеры. 1) ОТК обнаружил 3 бракованных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей:

2) По цели произведено 24 выстрела, при этом было зарегистрировано 19 попадании. Относительная частота поражения поля: .

Длительные наблюдения показали, что если число испытаний, проведенных в одинаковых условиях достаточно велико, то относительная частота в различных опытах изменяется мало, тем меньше, чем больше проведено испытаний. Значение относительной частоты постоянное число приблизительно равное вероятности.

В этом заключается свойство устойчивости относительной частоты. В законе больших чисел (теорема Бернулли) доказывается, что при большом числе испытаний частость колеблется около вероятности события, т.е. , это число и принимается за статистическую вероятность.

Определение 9. Итак: статистическая вероятность события это относительная частота появления события А в серии из n испытаний.

Если статистическая вероятность близка к 1, то событие можно считать практически достоверным, если близка к нулю – невозможным.

Возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность, чтобы событие можно было считать невозможным в единичном испытании?

Ответ зависит от тех потерь, которые будут допущены, если событие произойдет.

Достаточно малую вероятность, при которой можно считать событие практически невозможным называют уровнем значимости.

На практике за уровень значимости принимают 0,01; 0,05 или 0,1 (однопроцентные 5-ти и 10-ти процентные уровни).

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно.

На практике чаще всего встречаются испытания число всевозможных исходов, которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Этот недостаток (ограниченность классического определения) преодолевается введением геометрических вероятностей (самостоятельно рассмотреть). Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Трудно указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными (из соображений симметрии). Обычно предполагают, что игральная кость имеет форму куба и изготовлена из однородного материала. На практике (это не всегда имеет место), задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии встречаются редко. В таких случаях и применяется определение статистической вероятности. Легко проверить, что свойства классического определения вероятности сохраняются и при статистическом определении.