Тема: Закон больших чисел (самостоятельно).

§ 1. Неравенство Чебышева. (рассмотреть самостоятельно)

§ 2. Теорема Чебышева.

Теорема. Если попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства:

будет сколько угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Это означает, что:

Если попарно-независимые СВ, имеющие одно и тоже математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то как бы мало ни было , вероятность неравенства

будем как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Т.о. в условиях теоремы справедливо равенство.

Теорема Чебышева справедлива не только для ДСВ, но и для НСВ.

Сущность теоремы Чебышева в следующем. Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения близкие к определенному постоянному числу: (или к числу а). это означает, что отдельные случайные величины могут иметь большой разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало.

Нельзя уверено предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайны величин, но можно предвидеть какое значение примет их среднее арифметическое. Это означает, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены, утрачивает характер случайной величины. Это объясняется тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева имеет большое значение для практики. На этой теореме основан выборочный метод. Его суть в следующем. По сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.

Примеры: качество зерна, качество хлопка (оценивается по малой выборке из общего количества).

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянная, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико:

Тема. Функция распределения вероятностей св.

§ 1. Функция распределения и ее свойства.

ДСВ может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Для НСВ этот способ неприменим.

Действительно, рассмотрим случайную величину Х, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (a,b). Очевидно, что в этом случае нельзя составить перечень всех возможных значений Х. Поэтому необходимо дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью вводятся функции распределения вероятностей случайных величин.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение меньшее х, т.е. вероятность события Х < x обозначим F(x), где F(x) есть функция от х.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньше чем х, т.е. F(x) = P(Х < x).

Геометрически это означает, что F(x) есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Определение. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Рассмотрим свойства функции распределения.

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: .

Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т.е. , если . Из этого свойства следующие следствия.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b) равна приращению функции распределения на этом интервале: .