§ 2. График функции распределения.

На основании свойств функции распределения заключаем, что график расположен в полосе заключенной между прямыми: у = 0; у = 1 (св-во 1).

При возрастании х в интервале (a,b) график “поднимается вверх” (св-во 2). При ординаты графика равны нулю; при – равны единице (св-во 3).

График функции распределения ДСВ имеет ступенчатый вид.

Пример. ДСВ Х задана таблицей:

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение.

Если (свойство 3).

Если , действительно Х может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

Если , действительно, если х₁ удовлетворяет неравенству , то F(x₁) равно вероятности события , которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Так как эти два события невместны, то по теореме сложения вероятность события равна сумме вероятностей: 0,3 + 0,1 = 0,4.

Если . Действительно, событие достоверно, значит его вероятность равна 1.

Функция распределения аналитически может быть записана так:

§ 3. Плотность распределения вероятностей нсв.

НСВ задавали с помощью функции распределения. Этот способ не единственный. НСВ можно также задавать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности.

Определение. Плотностью распределения вероятностей НСВ Х называют функцию - первую производную от функции распределения :

.

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Замечание. Для описания распределения вероятностей ДСВ плотность распределения не применяется.

Свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения:

.

Пример. Плотность распределения СВ Х задана функцией:

.

Найти параметр а.

Решение. Согласно свойству 2 имеем: ; тогда

отсюда .

Найдем неопределенный интеграл:

.

=

= .

Тогда искомый параметр:

.

§ 4. Законы распределения вероятностей.

Плотности распределения НСВ называют также законами распределения.

Часто встречаются законы равномерного нормального и показательного распределений.

Определение: Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения СВ, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Пусть все возможные значения СВ заключены в интервале , на котором функция плотности сохраняет постоянные значения. Вне интервала Х не принимает никаких значений, т.е. при и функция . Найдем постоянную С. Т.к. все возможные значения СВ принадлежат , то или , отсюда:

; , тогда .

Тогда искомая плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

График плотности равномерного распределения имеет вид: