§ 2. Локальная теорема Лапласа.
Теорема. Если вероятность P появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях равно k раз приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению:
;
при
и
и
.
(Таблицы значений функции
приводятся).
Итак:
(**),
где
.
Пример 1
Найти вероятность того, что событие А
наступит ровно 80 раз в 400-х испытаниях,
если вероятность появления события
.
Решение.
;
;
;
.
Используем
формулу (**).
Найдем x:
.
По табл.1 найдем:
.
По формуле (*)
получим
Пример 2. Вероятно поражения цели стрелком при одном выстреле: . Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит цель 8 раз.
Решение.
;
;
;
.
По формуле (*): ;
.
По формуле (**):
;
Получим разные значения, это связано с тем. Что n имеет малое значение. Формула Лапласа дает хорошие значения при достаточно больших значениях n.
§ 3. Интегральная теорема Лапласа.
Пусть производится
n
испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А
постоянна, равна p,
0 ≤ p
≤ 1. Как найти вероятность
того, что событие А
появится в n
испытаниях не менее
и не более
раз (от
до
раз). На этот вопрос дает ответ интегральная
теорема Лапласа.
Теорема. Если вероятность события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от до раз, приблизительно равна определенному интегралу:
,
(1)
где
;
(2)
Формулу (1) можно
записать так:
Неопределенный
интеграл не выражается через элементарные
функции, поэтому составлена таблица
значений для интеграла
(см. приложение 2 в учебнике Гмурман
В.Е., Теория вероятностей и математическая
статистика). В таблице даны значения
для
,
для
используется таже таблица, функция
нечетная:
и для
можно принять:
.
Чтобы можно было пользоваться таблицей функции , которую называют функций Лапласа формулу (1) преобразуют к виду:
,
где
и
находятся по формулам (2).
Пример.
Вероятность того, что деталь не прошла
проверку ОТК, равна:
.
Найти вероятность того, что среди 400
отобранных деталей окажется непроверенных
от 70 до 100 деталей.
Решение.
По условию
;
тогда
;
;
;
.
По теореме Лапласа:
.
Найдем
и
.
.
Получаем:
По таблице прил.
2, находим:
;
,
тогда искомая вероятность:
Замечание. Пусть m число появлений события А в n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна P. Если m изменяется от до , то интегральную теорему Лапласа можно записать так:
.
Тема: Случайные величины.
§ 1. Дискретные и непрерывные случайные величины (св).
Определение 1. Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Например, при бросании игральной кости могут появиться числа:1,2,…,6. наперед определить число выпавших очков невозможно, оно зависит от многих случайных причин, которые невозможно полностью учесть. Число выпавших очков есть величина случайная, числа 1, 2,…,6 – это возможные значения этой величины. Другой пример, расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин: силы и направления ветра, температуры и т.д., которые не могут быть учтены.
Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (a,b). Будем обозначать случайные величины прописными буквами: X, Y, Z, а их возможные значения: x, y, z.
Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1, x2, x3.
Случайные величины (СВ) бывают дискретные и непрерывные.
Определение 2. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Или дискретной называют СВ, множество значений которой конечно или счётно.
Случайная величина равная числу выпавших очков 1, 2,…,6 при бросании игральной кости является дискретной случайной величиной (ДСВ).
Другой пример. Число заболевших свиным гриппом в некотором регионе также дискретная случайная величина.
Определение 3. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Такое определение НСВ не является точным, более точное определение рассмотрим позже.
Пример – температура в комнате в течение суток.