- •1.Функція багатьох змінних. Границя функції багатьох змінних.
- •2. Неперервність ф-ї багатьох змінних.
- •3.Частинні похідні. Диференцируємость ф-ї багатьох змінних.
- •4.Повний диференціал ф-ї багатьох змінних. Диференціали вищих порядків.
- •5. Похідні складної ф-ї багатьох змінних. Диференціал складної ф-ї багатьох змінних.
- •6. Екстремум ф-ї 2 змінних. Необхідні і достатні умови.
- •7. Невласні інтеграли 1 роду. Приклади.
- •8. Невласні інтеграли 2-го роду.
- •9.Числові ряди Найпростіші властивості.
- •10.Ознаки порівняння додатніх числових рядів.Приклади.
- •11. Знакоочередні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності.
- •Теорема2(Абелья) Якщо ряд (1) розбіжний в точці то він буде розбіжним для всіх
- •14.Ряд Тейлора
- •14.2Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
- •15 Тригонометрический ряд Фурье.
8. Невласні інтеграли 2-го роду.
Нехай ф-я f(x) визначена на проміжку [a,b) точку х=b назвемо особливою якщо f(x) коли х b-0. Нехай х=b особлива точка ф-ї f(x) і ця ф-я інтегрована на відрізку [a,b-) де >0; b->a. Якщо існує скінченна границя коли (1) то її наз-ть невласним інтегралом 2-го роду. Якщо (1)= або не існує то невласний інт-л наз-ся розбіжним. У випадку коли х=a особлива точка ф-ї f(x) невласний інтеграл 2-го роду визначається рівністю: = . У випадку коли с0(a,b) особлива т-а ф-ї f(x) то
= + (2). Інт-л (2) назвемо збіжним коли збіжні будуть оба інт-ли у правій частині (2). У випадку коли х=a х=b – особливі т ф-ї невласний інт-л визначається рівністю:
= + (3) де с-будь яка точка с(a,b). Інт-л (3) наз-мо збіжним якщо збіжні оба інтеграли у правій частині (3) незалежно від вибору точки а.
Приклад: , >0, х=0-особлива точка 1/х. 1)=1 = (розбіжний).
1, >0 = = . Таким чином збігаються коли і розбігаються коли 1.
Теорема 1: Якщо ф-ї f(x) і g(x) неперервні на проміжку [a;b) і мають особливу точку х =b і задовольняють нерівності 0f(x)g(x), xє[a;b), то якщо -збігається, то збігається. Якщо розбіжний, то розбіжним буде .
Приклад: Дослідити на збіжність інтеграл. (т. х=0) на [0;1) виконується нерівність: 1/(х1/2+5х4) 1/х1/2 оскільки - збіжний, то - збіжний.
Теорема 2: Якщо ф-ї f(x) і g(x) неперервні додатні на проміжку [a;b) і мають особливість в точці х =b і , то інтеграли і мають однакову поведінку, або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.
11продолжПриклад: неперервні і додатні на [0;1) мають особливість в точці х=0.
Розглянемо . розбігається, то за теоремою 2 - розбігається.
Теорема 3: Якщо х=b особлива точка f(x) і збігається, то збігається і інтеграл .
Приклад: . Підінтегральна ф-я знакозмінна і має особливість в т. х=0. Розглянемо інтеграл . збіжний, тому, що , то за теоремою 1 збіжний , а за теоремою 3 збіжний
9.Числові ряди Найпростіші властивості.
О-я: Нехай задана посл-ть дійсних чисел {an}={a1,a2,…., an ….}.
Числовим рядом наз-ся вираз a1,a2,…., an …= .
Число an- енний член ряду.
Число Sn наз-ся частинною измою ряду (1).
Сумой ряду 1 наз-ть вел-у S=limn Sn.
Ряд 1 збіжний якщо його сума –скінченне число.
Якщо сума= або не існує то ряд 1 наз-ся розбіжним.
Властивості збіжних рядів:
1)Якщо - збіг-ся і має суму сS, де с- конят .
Дов-ня:
Нехай Sn= ,n= =сSn.
limn Sn=S, limn n= limn сSn=сS.
2)Якщо ряди і збіг-ся і мають суми А і В то збіжн-ми єтакож ряди =А В.
Дов-ня:
Нехай Sn= , n=
S*n= , S*n= Sn n
Тоді limn Sn=А , limn n=В.
3)Збіжність ряду не зміниться якщо до цього ряду приєднати або відкинути скінченну кіль кість членів.
Дов-я:
Нехай Sn- частинна сума ряду 1. сm- сума відкинутих членів, n- таке велике щоб всі відкинуті члени знаходились в Sn. n-m-сума членів ряду що містяться в Sn і не містяться у сm.
Тоді Sn= сm+n-m тоді limn Sn= сm+ limn n-n.
З 2 впливає що гр. І влівій і правій частинах одн-но існує або не існує тобто ряд один збіжний(розб-й) коли збіжн-й(розб-й) ряд m n-го членів.
О-я: rn= , вираз rn наз-я n-им залишком ряду 1. Тобто його можна розглядати як суму ряду 1 без перших n його членів.
4)Ряд 1 збіжн-й тоді і тільки тоді коли збіг-ся його залишок.
5)Необхідна умова збіжності .
Якщо 1 збіг-ся то limn аn=0.
Дов-ня:
За умовою S=limn Sn зрозуміло що S=limn Sn-1. Тоді limn аn= limn (Sn- Sn-1).
Достатня умова розбиття ряду:
Якщо limn аn0 то , дійсно як-би ряд був збіжним то за 5) його залежний член прямував би до 0 при n а це суперечить умові.