- •1.Функція багатьох змінних. Границя функції багатьох змінних.
- •2. Неперервність ф-ї багатьох змінних.
- •3.Частинні похідні. Диференцируємость ф-ї багатьох змінних.
- •4.Повний диференціал ф-ї багатьох змінних. Диференціали вищих порядків.
- •5. Похідні складної ф-ї багатьох змінних. Диференціал складної ф-ї багатьох змінних.
- •6. Екстремум ф-ї 2 змінних. Необхідні і достатні умови.
- •7. Невласні інтеграли 1 роду. Приклади.
- •8. Невласні інтеграли 2-го роду.
- •9.Числові ряди Найпростіші властивості.
- •10.Ознаки порівняння додатніх числових рядів.Приклади.
- •11. Знакоочередні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності.
- •Теорема2(Абелья) Якщо ряд (1) розбіжний в точці то він буде розбіжним для всіх
- •14.Ряд Тейлора
- •14.2Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
- •15 Тригонометрический ряд Фурье.
7. Невласні інтеграли 1 роду. Приклади.
Нехай f(x) визначена на [a;+] , де 0аb, якщо існує скінчена границя
, то цю границю називають невласним інтегралом 1 роду і позначають (1).
У цьому випадку інтеграл (1) називається збіжним, а ф-я f(x) інтегров. на [а;+ ].
Якщо вказана границя не існує або є , то інтеграл (1) розбіжний, а ф-я f(x) неінтегров. на [а;+ ].
Аналогічно визначається = .
Невласний інтеграл з двума нескінченими межами визначається рівностями (2) = + , с-довільне число. збіжний коли є збіжним обидва інтеграла справа. Можна довести, що інше визначення (2) не залежить від вибору с.
Зауваження: З означення невласних інтегралів випливає невласні інтеграли є проп-ю інтегральних сум, а є границя визначеного інтегралу із змінною межею інтегрування. І виражає площу необмеженої області.
Приклад: Дослідження на збіжність. 1) =1 = = = інтеграл розбіжний. 2) 1 = = .
Таким чином інтеграл збігається, якщо і розбігається коли 1. Розглянемо деякі ознаки збіжності невласних інтегралів. Нехай на [a,+) ф-ї f(x) і g(x) неперервні і задовольняють нерівності 0f(x)g(x), хє[a,+). Тоді (3) (4). З(3) випливає (4), а із розбіжності (4) розбіжність (3).
Якщо площа більшої за розмірами області – скінчене число і меншої – скінчене число і якщо менше за розмірами області нескінченно велика величина, то і більшої нескінченно велика величина.
Приклад: Дослідити на збіжність інтеграл. оскільки Оскільки збігається (дивиться попередній приклад), то за теоремою (1) збіжним є також і .
Теорема 2: Якщо ф-ї f(x) і g(x) неперервні визначені на інтервалі [a,+) і задовольняють де (0К), f(x)0 і g(x)0, хє[a,+), то інтеграли (3) і (4) або одночасно збігаються або одночасно розбігаються.
Приклад: Дослідити на збіжність інтеграл. . Оскільки збіжний (дивиться попередній приклад розглянемо Ми скористалися тим, що ln(1+1/(x2+1))1/(x2+1), x, таким чином за теоремою 2 розбігається, оскільки збіжним є інтеграл .
У теормах 1 і 2 розглядаються лише невласні інтеграли від невід’ємних ф-й. У випадку коли підінтегральна ф-я знакозмінна справедлива така теорема:
Теорема 3: Якщо збігається, то збігається і .
Приклад: Дослідити на збіжність інтеграл. підінтегральна ф-я знакозмінна. Розглянемо .
10 продолжОскільки |(1+3sin x)/x4|4/x4; - збіжний, тому за теоремою 1 (4 збіжний, а за теоремою 3 - збіжний.
.
З збіжності у загальному випадку не випливає збіжність .
Означення: Якщо разом з інтегралом збігається інтеграл , то інтеграл називається абсолютно збіжним. У випадку коли збігається, а інтеграл розбіжний, то називається умовно (неабсолютно) збіжним.