- •1.Функція багатьох змінних. Границя функції багатьох змінних.
- •2. Неперервність ф-ї багатьох змінних.
- •3.Частинні похідні. Диференцируємость ф-ї багатьох змінних.
- •4.Повний диференціал ф-ї багатьох змінних. Диференціали вищих порядків.
- •5. Похідні складної ф-ї багатьох змінних. Диференціал складної ф-ї багатьох змінних.
- •6. Екстремум ф-ї 2 змінних. Необхідні і достатні умови.
- •7. Невласні інтеграли 1 роду. Приклади.
- •8. Невласні інтеграли 2-го роду.
- •9.Числові ряди Найпростіші властивості.
- •10.Ознаки порівняння додатніх числових рядів.Приклади.
- •11. Знакоочередні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності.
- •Теорема2(Абелья) Якщо ряд (1) розбіжний в точці то він буде розбіжним для всіх
- •14.Ряд Тейлора
- •14.2Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
- •15 Тригонометрический ряд Фурье.
10.Ознаки порівняння додатніх числових рядів.Приклади.
О-я:Якщо n аn. - наз-ся знакододатній.
Заув-я:
Звластивості 1 випливає що дослідження знаковідьємного ряду рівносильно досл-ню рівносильного знакододатнього ряду.
Теорема1(ознаки порівняння)
Якщо n викон-ся нер-ть 0 аn bn (1) то із збіжності ряду (2) випливає збіжність (3) ,а розбіжності 3 випливає розб-ть 2.
Дов-ня: Нехай ряд 2 збігається , Sn= , і n= - частинні суми рядів 3 і 2 т.к 2 збіг-ся то
limn n =.Таким чином {Sn} обмежена зверху числом крім того ця посл-ть не спадна.
За т-ю про існування границі обмеженої неспадної посл-ті одержимо що S=limn Sn тобто 3 збігається.
Нехай тепер ряд 3 розбіжний. Якщо ми припустимо що 2 збіжний то за доведеним 3 повинен бути збіжним, а це суперечить умові.
Ознаки порівняння можна застосовувати і тоді коли нер-ть 1 викон-я не для всіх n, а починаючи з деякого номера N. Оскільки за 3 на збіжність ряду не впливає приєднання скінченої кількості чисел.
Застосовуючи ознаки пор-х треба знати які ряди збіжні , а які розбіжні.
Т-ма2(причинна ознака порівняння)
Якщо задані 2 додатні числові ряда (4) , (5) існує границя limn аn/bn=e де 0<l<+, то ряди 4 5 збігаються або розбігаються одночасно тобто мають однакову поведінку.
Дов-ня: Нехай limn аn/bn=l тоді >0 існує N():n>N викон-ся нер-ть аn/bn -l<
(l-) bn аn (l+) bn(6). Якщо 4 збіжний то з лівої частини 6 і Теор-и1 випливаєщо ряд також збіжний з властивості 1 числових рядів що тоді і також збіжний. Нехай 4 розбіжний тоді з правої частини 6 випливає що розбіжний тому за вл-ю 1 розб-й.
Наслідки:
1)Якщо аn екв-но bn, limn аn/bn=l то 4 5 або одночасно збіг-ся або розбіг-ся.
11. Знакоочередні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності.
Знакопочередним називається такий числовий ряд знаки членів якого строго чергуються тобто ряд два довільні сусідні члени якого мають різні знаки: а1-а2+а3-...+(-1)n-1an+…= (1) де an0, n>N.
Теорема 1 (ознака Лейбніца): Ряд (1) збіжний якщо аn > аn+1, n>N (2) і limn аn=0 (3).
Доведення: Розглянемо частинну сумму ряду (1) з парним числом членів S2n=а1-а2+а3-a4+...+a2n-1-a2n= (а1-а2)+(а3-a4)+...+(a2n-1-a2n). З (2) випливає, що кожна різниця в дужках додатна, а тому S2n0, n>N. Послідовність {S2n} крім того монотонно зростає. Покажемо, що ця послідовність обмежена зверху, дійсно S2n=a1-[(а2-а3)+(а4-a5)+...+(a2n-2-a2n-1)+a2n] а1. Таким чином посл-ть {S2n}, як обмежена зверху монотонна посл-ть має границю. Позначимо її через: limn S2n = S.
Розглянемо тепер посл-ть частинних сумм з непарним числом членів S2n+1= S2n+а2n+1.
Властивість (3): limn S2n+1 = limn S2n+ limn а2n+1 = S+0=S . Таким чином limn S2n+1 = limn S2n = S це і означає, що ряд(1) збіжний.
Приклад: Дослідити на збіжність ряд . Даний ряд є знакопочереднім, для нього аn=1/n, аn+1=1/(n+1), limn аn= limn 1/n=0 тому за теоремою 1 даний ряд збігається.
О-я: Ряд називається знакозмінним якщо серед його елементів є як додатні так і від’ємні числа.
З-я1: В даному означенні розглядається випадок коли числовий ряд містить нескінченну кількість додатніх членів і нескінченну кількість від’ємних членів. Зрозуміло, що розглянутий знакопочередній ряд є частинним випадком знакозмінного.
Нехай а1+а2+а3+a4+...+an+...= - знакозмінний ряд. Розглянемо ряд кладений із модулів його членів , справедлива теорема:
Теорема 2: Якщо збігається ряд , то збігається ряд .
Доведення: Позначимо через | an|+ an =2pn, | an|- an =2qn. Зрозуміло, що 0 2pn |an |; 0 2qn |an |. Оскільки ряд з модулів |an | збігається, то за ознакою порівняння: і також збіжні, але an = pn - qn. Тоді ряд = = - . За властивістю 2 числових рядів питання 14.
Приклад: Дослідити на збіжність ряд . Даний ряд є знакопочереднім, розглянемо ряд з модулів його членів: , оскільки |sin n|/n31/n3, а ряд збігається (узагальнений гармонічний ряд з показником степені =31), то за означенням порівняння: |sin n|/n3 збіжний, тому за теоремою 2 збіжним буде ряд sin n/n3.
Зауваження: Теорема 2 дає лише достатню умову збіжності знакозмінного ряду тому, що твердження обернене до теореми 2 не виконується. Оскільки існують ряди, які є збіжними, а ряди побудовані з модулів їх членів розбігаються. Приклад: збігається, але ряд складений з модулів його членів розбіжний (гармонічний ряд).
О-ня 1: Ряд називається абсолютно збіжним якщо збігається ряд .
О-ня 2: Якщо ряд збігається, а ряд розбігається, то ряд називається умовно збіжним рядом.
У прикладах ряд збігається абсолютно, а ряд збігається умовно.
12.Функціональні ряди поняття рівномірной збыжн. озн Вейерштр.
Озн: Нехай { } n=1 послідовність функції визначено на деякій числовій множині Е . Функціональним рядом називають вираз (1). Візьмемо точку Х0 і у ряді (1) покладемо Х=X0 одержемо числовий ряд (2). Ряд (2) може бути як збіжним так і розбіжним.
Озн-я: Якщо ряд(2) збігається, точка Х0 –точка збіжності функціонального ряду (1). Якщо ряд (2) розбігається то точка Х0 – точка розбіжності функціонального ряду множини всіх точок збіжності функціонального ряду (1) називається областю збіжності цього ряду.
Зауваження: Зрозуміло , що область збіжності ряду(1) може ,як співпадати з множиною Е так і становити деяку її частину.
Оз-ня: N-ю частиною сумою функціонального ряду (1) називають вираз .
В кожній точці Х ,яка належить області збіжності ряду(1) існує скінченна границя , цю границю називають сумою ряду (1) і пишуть - визначена в області збіжності функціонального ряду (1).
Оз-ня: N- нним залишком функціонального ряду(1) називають вираз
зрозуміло, що для всіх точок Х з області збіжності ряду(1)
Зауваження: Відомо, що сума скінченого числа неперервной ф-й є ф-ю неперервною.Крім того сума скінченого числа ф-ї, можно почлено диференцюювати та інтегрувати. (якщо існують відповідні похідні і інтеграли). Виявляеться, що властивості незавжди виконуються для суми нескінченого числа доданків для ф-них рядів. Однак всі ці властивості зберігаються для так званих рівномірно збіжних ф-них рядів.
Оз-ня: Ф-ний ряд (1) наз. збіжним на деякій множині D E, якщо існуе N=N(E) і незалежить від Х, що для n>N, D виконуеться / (х)/< E.
Основні властивості рівномірного збіжних ф-них рядів:
Якщо членами ф-ного ряду (1) є неперервні ф-цій на деякій множині D і цей ряд рівномірно збігаеться то його сума є ф-ю неперервною на множині D.
Якщо ф-ний ряд (1) рівномірно збігаеться на [a;b] і його члени є неперервні на цому відрізку ф-й то ряд (1) можна почлено інтегрувати у межах [ , ] [a,b] тобто: S(х)dx= (x)dx= (x)dx
Якщо ряд (1) збігаеться на відрізку [a;b] а ряд складених з його похідних (х)
рівномірно збігаеться на [a;b] і крім того ф-й [a;b], /N то ряд (1) можна почлено диференцюювати, тобто: (x)= = , [a;b]
Теорема: (Ознака Верштрасе) Ф-ний ряд один абсолютно і рівномірно, зберігаеться на [a;b] , якщо для /N виконуеться нерівність / / , х [a;b] де ряд збіжний додатній числовий ряд.
Дов. З умови три і ознаки порівняння випливае, що ряд (1) є абсолютно збіжним на відрізку [a;b] . Покажемо теперь рівномірну збіжність ряду (1) . Оскільки ряд (1) абсолютно збігаеться то абсолютним буде його залишок: = ,
де -n-ий залишок ряду відомо, що коли числовий ряд збігаеться його залишок при n прямуе до 0.Дісно, якщо n , тоді >0
>N E Звідси для всіх виконуеться нерівність / (х)/<E Це означае, що ряд (1) є рівномірно збіжним на [a;b]
Приклад: Дослідити на рівномірну збіжність ф-ий ряд: виконуеться нерівність Ряд збігаеться за ознакою Доломбера:
,
g=
Таким чином вказаний ф-ний ряд рівномірно збігаеться за ознакою Верштрасе на всій числовій осі.
13. Поняття степеневого ряду. Теорема Абелья. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду.
Озн: Степеневим рядом наз. Ф-ний ряд віду (1)
де , дійсні числа, які наз. коефіціентами ряду. Степеневим рядом за степеннями двохчлена наз. ф-ним рядом виду (2)
Зауваження 1: Заміною завжди можно перейти від степеневого ряду (2) до ряду (1) тому надалі будемо розглядати лише степеневі ряди вигляду (1)
Зауваження 2: Всякий степеневий ряд вигляду (1) завжди збіжний в точці х=0 і його сума Таким чином область збіжності ряду (1) завжди містить принаймні одну точку.
Теорема1(Абелья) Якщо степеневий ряд (1) збігаеться в точці то він абсолютно збігаеться для всіх