14.2Разложение элементарн. Функций в ряд Макларена
Опр:
Рядом Макларена f(x)
назыв. степ. Ряд по степеням х , который
можно получить из ряда Тейлора f(x)
приняв
f(x)=f(0)+
+
+…+
=
(1).
Чтобы разложить ф-ю f(x)
в ряд Макларена необходимо: а)
найти
б)
вычислить значения их в т. х=0. в)записать
ряд Макларена (1) для данной ф-ции и найти
его интервал сходимости.
г)опр интервал
(-R;R)
в котором член
,
если
указ интервал существует то в этом
интервале f(x)
и сумма (1) сходятся. f(x)=
Рассм ряды Макларена
некоторых элем 1)ex=1+
+
+…+
+...+=
(2)
. Док-ство:
пусть f(x)=ex
а)
б)
в) по ф-ле (1) получим :
1++
+…+
+...;
R=
.
Найденный ряд сходится на (-
;
)
исп. теор. (3) |f(n)
(x)|=|ex|=e|x|<eR
,
(-R;R).
Поэтому ex
можно разложить в степ. ряд на люб.
интервале (-
;
)
2) sin(x)=
-
+
-…+(-1)n
=
(3). Док-ство
: пусть
f(x)=sin(x)
Имеем: а)
,
,
…
б)
=0,
n=0,2,4,6…
=1,
n=1,5,9…
=-1
,n=3,7,11…
в)
-
+
-…
+(-1)n
+…
R=
=
=
г)
ряд сходится на
.
Док-ство:
=
≤1<
,
3)
cos(x)=1-
+
-…+
=
,
(4) . Док-ство
: как Ф-ла
(3) 4) (1+x)m
= 1 +
+
+…+
+…=
(5) Док-ство:
пусть
f(x)=(1+x)m
а)
=m(1+x)m-1
=m(m-1)(1+x)m-2
…
=m(m-1)…(m-n+1)(1+x)m-n
б)
=m(m-1)…(m-n+1)
,
в)1+
+
+ …+
+….
R=
=
=1
т.е. (-1;1) интервал сходимости г)док-во
того что
не приводим. Ряд (5) назыв биномиальным
.Если
получим
известное разложение – бином Ньютона.
сходимость бином ряда в конечн. точках
интервала зависит от точек. Ряд (5)
сходится к (1+x)m
в таких случаях : 1) при m≥0
x
є
[-1;1]
2) -1<m<0
x
є
(-1;1]
3) m≤-1
x
є
(-1;1)
без доказательства. 5)
1/(1+x)
=1-x+x2-…+(-1)nxn+…=
(6)/
для док ф-лы (6) в ф. (5) взять показ степени
-1. 6)
1/(1-x)=
1+x+x2+…+xn+…=
х є
(-1;1) взять
в ф-ле (6) –х вместо х .если в ф-ле (6)
проинтегрировать почленно степ. ряд
получим разложение в степ ряд ln(1+x)
7)ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)n-1xn/n+…=
x
є
(-1;1] (8)
15 Тригонометрический ряд Фурье.
Опр. Ф-
циональный ряд вида : a0/2
+
(1), где a0,an,bn
(n=0,1,2,…)
/R,
наз. тригонометрическим рядом. Указ.
числа наз. его коэффициентами. Допустим,
что ряд(1) на отрезке [
]
равномерно сходиться к ф-ции f(x).
f(x)= a0/2 + (2) поскольку члены ряда (2) явл. непрер. ф-циями, этот ряд - равномерно сходящийся к ф-ции f(x), то сама f(x) явл. непрерывной(св-во 1. б.19)и этот ряд почленно интегрировать. Проинтегрировав почленно ряд (2) на [ ] получим
.
Поскольку
,
(n=1,2,…).
Получим
=a0
=>a0=1/
(3).
Домножим обе части р-ва (2) на cos
kx
и проинтегрируем получ. ряд на [
]:
(4)
Поскольку
(k≠n),
(
k).
Из р-ва (4) при n=k
получим:
an
(5). Аналогично,
помножив (4)
на
sin
kx
и проинтегрировав получ. ряд на [
]
найдем коэффициент bn=1/
(6).
Опр.пусть f(x) интегрируемая ф-кция на [ ]. Числа a0,an,bn, кот. опр. ф-лами (3),(5),(6) наз. коэффиц. Фурье ф-кции f(x). Тригон. ряд (1), коэфф. которого явл. коэф-тами Фурье ф-кции f(x), наз. рядом Фурье этой ф-кции. Его обозн. :
f(x)
a0/2+
(7). Знак соответствия озн., что интегрируемой
на[
]
в виде равномерно сход. на этом отрезке
тригон ряда, то этот ряд единственный
и явл. рядом Фурье. Док-й результат можно
так : Теорема
1 Если f(x)
можно предст. на отрезке [
]
в виде равномерно сход. на этом отрезке
тригон. ряда , то этот ряд единственный
и явл. рядом Фурье.
Теорема 2( дост.
условие представления ф-кции черз её
ряд Фурье) : Пусть периодич. ф-кция f(x)
с периодом
явл.
кусочно-монотон. и огран на [
]
,тогда ряд Фурье f(x)
явл. сходящимся на всей числ. оси. Сумма
S(x)
найденного ряда равна значению ф-кции
f(x)
во всех т. непр-сти ф-кции f(x)
, если x0
– точка разрыва ф-кции f(x),
то S(x)=(f(x0-0)+f(x0+0))/2,
т.е. сумма ряда Фурье в т. хо
равна среднему арифм. одностор. пределов
ф-кции в т. хо.
В кончных точках отрезка[
]
сумма ряда Фурье принимает значения
.
Замечание
если ряд
Фурье сходится к S(x)
то эта явл.
периодической, так как
периодическими
явл. все члены ряда (2). Если ряд (2)
сходящийся к f(x)
на [
]
то он сходится к этой ф-кции на всей
числовой оси, при этом f(x+
)=f(x).
Таким образом заданную на [
]
ф-кцию можно периодически продолжить
на всю числ. прямую и представить в виде
суммы ряда Фурье. 2. Произв.
-
периодическую ф-кцию φ(х) можно проинтегр.
по периоду
,
где а-
т.
(-
.
Поэтому коэфф. ряда Фурье можно найти
вычисляя интегралы (3),(5),(6) на
отрезке
длиной
:
