3.Частинні похідні. Диференцируємость ф-ї багатьох змінних.

Нехай ф-я z=f(x,y) визначена на  околі точки М(x,y), надамо змінній х приріст х, залишаючи при цьому змінну у незмінною, так щоб точка М₁(х+х,у) належала заданому околу точки М.

Означення: Величина _хz= f(х+х,у)-f(x,y) – частинний приріст ф-ї z=f(x,y) по змінній х в т. М(x,y).

Аналогічно визначається частинний приріст змінної у _уz= f(х,у+у)-f(x,y).

Означення: Якщо існує границя , то її називають частиною похідної ф-ї z=f(x,y) по змінній х в точці М(х,у) і позначають одним з символів: f/x, z/x, f’_x,z’_x.

Частинну похідну по змінній х в т. М₀(х₀, у₀) позначають f(х₀,у₀)/x, z’_x_М0.

Аналогічно визначається частинна похідну по змінній у: .

Заув-я Згідно з озн-м при знаходженні похідної z’_x обчисл. Звичайну похідну 1 змінної по х вважаючи у-const. Тому для обчислення частинних похідних справедливі формули : правила диф-ня ф-ї однієї змінної. Похідна z’_x характеризує швидкість зміни ф-ї z=f(x,y) у напрямі Ох, а z’_у-Оу.

Геометричний зміст частинних похідних.

Графіком ф-ї z=f(x,y) є деяка поверхня. Графіком ф-ї z=f(x,y₀) є лінія перетину цієї поверхні з площею у=у₀. Виходячи з геометричного змісту похідної для ф-ї однієї змінної одержимо що f_у(x₀,y₀)=tgx де х- кут Нірго додатнім напр.. Ох і додатної до кривої z=f_у(x,y₀) в точці М₀(x₀,y₀, f_у(x₀,y₀).

Аналогічно f_у(x₀,y₀)=tg.

Якщо ф-я z=f(x,y) визначена у деякій області і має частинні похідні z’_x і z’_у в усіх точках (x,y) D, то її частинні похідні можна розглядати як нові ф-ї що задані в області D.

Озн: Якщо існує частинна похідна по х від ф-ї  f /x, то наз-ся частинною похідною 2-го порядку від ф-ї z=f(x,y) по х .

Якщо існує частинна пох-на по у від ф-ї  f /у її наз-ть частинною пох-ю 2-го пор-ку по у. Якщо розглядати частинну пох-ну по у від ф-ї  f /x, то ця пох-на наз-ся мішаною частинною пох-ю 2-го пор-ку від ф-ї z=f(x,y).

Для ф-ї 2-х змінних можна розг-ти 4 пох-х 2-го порядку : z”_xх, z”_xу, z”_уу, z”_ух.

Т-ма:(про мішані похідні)

Якщо ф-я z=f(x,y) визначена із своїми пох-ми z”_xх, z”_xу, z”_уу, z’_ух у деякому околі точки М₀ , причому z”_xу і z’_ух неперервні в точці М₀ то в цій точці z”_xу от м₀ до у^х = z’_ух от м_0.

Заув-ня: аналогічна теорема справедлива для будь яких мішаних похідних які неп-ні і відрізняються лише порядком диф-ня.

Приклад:

Знайти пох-ні 2-го порядку

Z=x³-x²y+y³

z’_x=3x²-2xy; z’_у=-x²+3y²;

z”_ух=( z’_у) ’_x=-2x.

Нехай ф-я z=f(x,y) визначена в деякому околі точки М(x,y), надамо змінним х та у приріст х,у, так щоб точка М₁(х+х,у+у) належала вказаному околу і розглянемо повний приріст точки М.

Означення: Величина _хz= f(х+х,у)-f(x,y) – частинний приріст ф-ї z=f(x,y) по змінній ф-ї z=f(x,y) в точці М(x,y) z= f(х+х,у+у)-f(x,y).

Означення: Ф-я z=f(x,y) диференцируєма в точці М, якщо її повний приріст в цій точці можна надати у вигляді z=Ах+Ву+x+y (1), де А,В – дійсні числа, які не залежать від х,у.

х,у), х,у) – нескінченно малі ф-ї, якщо х, у0.

Теорема 1(неперервність диференцируємої ф-ї): Якщо ф-я z=f(М) диференцируєма в точці М, то вона неперервна в цій точці.

Доведення: Якщо ф-я z=f(М) диференцируєма в точці М, то з (1) випливає ,це означає, що ф-я неперервна в точці М( Теорема 2, означення 1’).

Теорема 2(існування частинних похідних диференцируємої ф-ї): Якщо ф-я z=f(x,y) диференцируєма в точці М(х,у), то вона має в цій точці частинні похідні f_x^’(x,y)= f_x^’, f_y^’=f_y^’(x,y), z=f_x^’х+ f^’уу+x+y .

Доведення: Оскільки ф-я z=f(x,y) диференцируєма в точці М(х,у), то в цій точці виконується (1). Підставимо у (1) у=0. Тоді z_х=Ах+(x,0)  , тобто А= f_x^’(x,y). Аналогічно, якщо взяти х=0 і перейти до границі при у0, одержимо, що В=f_y^’(x,y).

З ауваження: Твердження обернені до теорем 1 і 2 в загальному випадку не виконуються. Тобто з неперервності f(x,y), а також з існування її частинних похідних у т. М ще не випливає диференцируємость ф-ї.

Приклад: z=(х²+у²)^1/2, ф-я z неперервна в точці (0,0), але недиференцируєма в цій точці: границі не існує, тому, не існує і похідної f_x^’(0,0), аналогічно не існує f_y^’(0,0), тому за теоремою 2 ф-я z недиференцируєма.

Теорема 3(достатні умови диференцируємості): Якщо ф-я z=f(x,y) у деякому околі т. М має частинні похідні і вони неперервні в т. М, то ф-я z=f(x,y) диференцируєма в точці М.

Д оведення: Надамо змінним х та у приріст х,у0, так щоб точка М₁(х+х,у+у) належала вказаному околу і розглянемо повний приріст ф-ї в точці М. z= f(х+х,у+у)-f(x,y)=f(х+х,у+у)-f(x,y+у)+f(x,y+у)-f(x,y)=теорема Лагранжа=f^’(x+₁х,у+у)х+ f_y^’(x,y+₂у)у (2), де 0₁0₂. Тут ми використовуємо теорему Лагранжа (оскільки дана ф-я має частинні похідні). Оскільки частинні похідні неперервні в т. М, то випливає з неперервності. Аналогічно випливає з неперервності. Тоді f^’(x+₁х,у+у)=f_х^’(x,у)+(x,y); f_y^’(x,y+₂у)=f_у^’(x,у)+(x,y), де (x,y) і (x,y)- нескінченно малі ф-ї при х, у0. Підставляючи ці вирази у рівність (2), одержимо z=f_x^’(х,у)х+ f_у^’(х,у)у+(x,y)x+(x,y)y, а це і означає, що ф-я f(x,y) диференцируєма в т. М.

Наслідок: Щоб ф-я f(x,y) була диференцируєма в точці необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні і достатньо щоб вона мала в цій точці неперервні частинні похідні.