- •1. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема об общем виде
- •2. Основные свойства неопределенных интегралов.
- •3. Метод интегрирования разложением и подстановкой. Теорема о замене
- •4. Метод интегрирования по частям. Теорема.
- •5. Интегрирование простейших дробей.
- •6. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных выражений.
- •8. Интегрирование тригонометрических функций.
- •17.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теорема о сходимости таких интегралов.
- •18. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •19. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
- •20. Числовые ряды. Частичные суммы. Сходимость ряда. Теорема об общем члене сходящегося ряда.
- •21. Основные свойства рядов. Остаток ряда. Теорема об остатке ряда.
- •22. Положительные ряды. Признаки сходимости (теоремы сравнения)
- •23. Признак Даламбера.
- •24. Радикальный признак Коши.
- •25. Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •26. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной сходимости. Теорема Коши об абсолютной сходимости.
- •27. Условная сходимость рядов. Теорема Лейбница.
- •28. Функциональные ряды. Область сходимости.
- •29. Степенные ряды. Теорема Абеля.
- •30. Ряды Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •35. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа).
- •36. Уравнение Бернулли.
- •37. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
- •38. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Два типа уравнений, метод решений которых понижение порядка.
- •39. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.
- •40. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •41. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •46. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •47. Дифференцирование сложных функций многих переменных.
- •48. Инвариантность формулы первого дифференциала.
- •49. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •50. Полные дифференциалы высших порядков.
- •51. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •52. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
17.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теорема о сходимости таких интегралов.
Несобственный интеграл – это определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; +∞). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом 1 рода и обозначают . Т.е . В этом случае несобственный интеграл сходится. А если указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл расходится.
Теорема (пр. ср.): Из сходимости большего интеграла следует сходимость меньшего
Теорема: Если существует предел , то интегралы ведут себя одинаково в плане сходимости.
18. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом 2 рода и обозначают .
Т.е. = . Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится.
Теорема (пр. ср.): Из сходимости большего интеграла следует сходимость меньшего
Теорема: Если существует предел , то интегралы ведут себя одинаково в плане сходимости (b-точка разрыва).
19. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
Для беск. Пределов: Если сходится , то сходится абсолютно
Для неогр. Функций: Если сходится , то сходится абсолютно
20. Числовые ряды. Частичные суммы. Сходимость ряда. Теорема об общем члене сходящегося ряда.
Числовой ряд – выражение вида , где - члены ряда, – общий член
Сумма первых n членов рада называется n-й частичной суммой ряда и обозначается Sn.
Если существует конечный предел S= , то этот предел – сумма ряда, и ряд сходится. Если предел не существует или равен бесконечности, то ряд расходится.
21. Основные свойства рядов. Остаток ряда. Теорема об остатке ряда.
Свойство 1: Если ряд сходится, его сумма равна S и в нем каждый член ряда умножить на произвольную константу, то получившийся ряд также сходится и сумма его равна cS
Свойство 2: Если сходится ряд и сходится ряд , а их суммы равны S1 и S2 соответственно, то сходятся и ряды и сумма каждого равна S1 ± S2
Свойство 3: Если к ряду прибавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и первоначальный ряд сходятся или расходятся одновременно.
Ряд un+1 + un+2 +… = называется n-м остатком ряда . Следовательно, исходя из свойства 3 исходный ряд и получившийся ряд одновременно сходятся или расходятся. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю при n
22. Положительные ряды. Признаки сходимости (теоремы сравнения)
Теорема пр.ср.: Пусть даны два знакоположительных ряда (1), . Если для всех n выполняется равенство un≤vn, то из сходимости (2) ряда следует сходимость (1). Из расходимости (1) ряда следует расходимость (2).
Док-во: Из неравенства un≤vn следует, что n-я частичная сумма (2) ряда больше или равна частичной сумме (1) ряда ( ≤ . Пусть ряд (2) сходится и его сумма равна S2. Тогда S2. Члены ряда (2) положительны, поэтому <S2 и с учетом неравенства ≤ , ≤S2. Таким образом, последовательность монотонно возрастает (un>0) и ограничена сверху числом S2. По признаку существования предела последовательность имеет предел S1, т.е. ряд сходится.
Пусть теперь ряд (1) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем . С учетом неравенства ≤ следует, что . Т.е. ряд (2) расходится.
Теорема (предельный пр. ср): Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от 0 предел , то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Док-во: Пусть (A-ɛ)vn<un<(A+ɛ)vn Если ряд (1) сходится, то из левого неравенства и теоремы пр. ср. вытекает, что также сходится. Следовательно, тогда и ряд (2) сходится. Если ряд (1) расходится, то их правого равенства и теоремы пр. ср. вытекает, что рад (2) расходится.