28. Функциональные ряды. Область сходимости.

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным: = + +…+ +…,

Придавая х определенное значение , получим ряд

+ +…+ +…,

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости данного ряда. Если же ряд расходится, то точкой расходимости.

29. Степенные ряды. Теорема Абеля.

Степенной ряд – это ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х.

= + + + … + +…(1), где - коэффициенты ряда

Теорема Абеля: Если степенной ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Док-во: По условию ряд сходится. Следовательно, по необх. приз. сходимости = 0. Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число M>0, что для всех n выполняется неравенство Пусть |x|<| |, тогда величина q= <1 и, следовательно,

| |= | | , То есть модуль каждого члена исходного ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда. Поэтому по пр. ср. ряд сходится абсолютно.

30. Ряды Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (x- ), называемое рядом Тейлора:

Теорема: Если модули всех произвольных функций f(x) ограничены в окрестности точки одним и тем же числом M>0, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение в ряд Тейлора.

Доказательство длинное. Покажите, что остаточный член стремится к нулю и все получится.

31. Разложение функций в степенные ряды.

Написать разложения основных функций.

32. Приложения рядов для приближенных вычислений.

Раскладывать по известным разложениям функций. Используя точность (кол-во знаков после запятой), чтобы отбросить нужный остаточный член.

33. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором связана независимая переменная, искомая функция и ее производные. ДУ 1 порядка – это уравнение вида y’=f(x; y). Оно имеет вид P(x)dx+Q(y)dy=0. Как видно, переменные резделены. Чтобы его решить, нужно почленно проинтегрировать это уравнение. Тогда получим

34. Уравнения с однородными коэффициентами. Метод подстановки.

Функция f(x; y) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на , т.е. f(λx; λy)=

ДУ y’=f(x; y) называется однородным, если f(x; y) есть однородная функция 0 порядка.

Однородное ДУ можно записать в виде y’= ) (1).

Если f(x; y) – однородная функция 0 порядка, то по определению, f(x; y)=f(λx; λy). Заменив λ= , получаем f(x; y)= f( ).

Однородное уравнение (1) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи подстановки или y=ux. Действительно, подставив данные в исходное уравнение получаем уравнение с разделяющимися переменными.