- •1. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема об общем виде
- •2. Основные свойства неопределенных интегралов.
- •3. Метод интегрирования разложением и подстановкой. Теорема о замене
- •4. Метод интегрирования по частям. Теорема.
- •5. Интегрирование простейших дробей.
- •6. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных выражений.
- •8. Интегрирование тригонометрических функций.
- •17.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теорема о сходимости таких интегралов.
- •18. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •19. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
- •20. Числовые ряды. Частичные суммы. Сходимость ряда. Теорема об общем члене сходящегося ряда.
- •21. Основные свойства рядов. Остаток ряда. Теорема об остатке ряда.
- •22. Положительные ряды. Признаки сходимости (теоремы сравнения)
- •23. Признак Даламбера.
- •24. Радикальный признак Коши.
- •25. Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •26. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной сходимости. Теорема Коши об абсолютной сходимости.
- •27. Условная сходимость рядов. Теорема Лейбница.
- •28. Функциональные ряды. Область сходимости.
- •29. Степенные ряды. Теорема Абеля.
- •30. Ряды Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •35. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа).
- •36. Уравнение Бернулли.
- •37. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
- •38. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Два типа уравнений, метод решений которых понижение порядка.
- •39. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.
- •40. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •41. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •46. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •47. Дифференцирование сложных функций многих переменных.
- •48. Инвариантность формулы первого дифференциала.
- •49. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •50. Полные дифференциалы высших порядков.
- •51. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •52. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
23. Признак Даламбера.
Теорема: Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.
Док-во: По определению предела для любого ɛ>0 найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство или .
Пусть l < 1. Можно подобрать так, что число l+ < 1. Обозначим l+ =q, q<1. Тогда из правой части неравенства получаем <q или В силу свойству рядов (3) можно считать, что для всех n=1,2,3,…Давая номеру эти значения, получим серию неравенств: , ,
, т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится, как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Тогда, на основании пр. ср. сходится исходный ряд.
Пусть l > 1. В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство >1 или То есть, члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому ≠0. Значит ряд расходится.
24. Радикальный признак Коши.
Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел Тогда ряд сходится при l < 1 и расходится при l > 1. Док-во аналагично доказательству признака Даламбера.
25. Интегральный признак Коши-Маклорена.
Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; +∞) функции f(x) так, что =f(1), =f(n), то:
1) Если сходится, то сходится и ряд
2) Если расходится, то расходится и ряд
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х=n. Построим прямоугольники. Учитывая геом. смысл получим .
Случай 1: Несобственный интеграл сходится, т.е. равен А. Поскольку , то с учетом первоначального неравенства имеем: . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, то по пр. сущ. Предела, имеет предел. Следовательно, ряд сходится.
Случай 2: Несобственный интеграл сходится, т.е. равен +∞ и интегралы неограниченно возрастают при n ∞. Учитывая, что , получаем, что ∞ при n ∞. Следовательно, первоначальный ряд расходится.
26. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной сходимости. Теорема Коши об абсолютной сходимости.
Знакопеременный ряд – это числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов.
Теорема: Пусть дан знакопеременный ряд u1+u2+u3+…+un+…
Если сходится ряд |u1|+|u2|+|u3|+…+|un|+…, составленный из модулей членов данного ряда, то сходится абсолютно и сам знакопеременный ряд.
Док-во: Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов данных рядов: , очевидно, что 0 ≤ ≤ 2| для всех n∈N. Но ряд
Сходится. Следовательно, на основании пр. сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов = - , то на основании 2 св-ва рядов он сходится.
27. Условная сходимость рядов. Теорема Лейбница.
Условно сходящийся знакопеременный ряд – это ряд, который сходится, а ряд, составленный из модулей его членов расходится.
Теорема Лейбница: Знакочередующийся ряд сходится, если: 1) Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает
2) Общий член ряда стремится к нулю, при этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам 0 < S <
Например, сходится, а ряд, составленный из модулей членов данного ряда расходится.