46. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость функций нескольких переменных.
Это частные производные, чей порядок выше единицы.
Теорема:
Если функция z
= f
(x;
y)
дифференцируема в точке M
(x;
y),
то она непрерывна в этой точке и имеет
в ней частные производные
Теорема:
Если функция z
= f
(x;
y)
имеет непрерывные частные производные
и
в точке M(x;y),
то она дифференцируема в этой точке и
ее полный дифференциал равен dz=
47. Дифференцирование сложных функций многих переменных.
Пусть z = f(x; y) – функция двух переменных x и y, каждая из которых является функцией независимой переменной t: x=x(t), y=y(t). В этом случае функция z=f(x(t); y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t, переменные x, t – промежуточные переменные.
Теорема: Если z = f(x; y) – дифференцируемая в точке M(x; y) ∈ D функция и x=x(t) и y=y(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z=f(x(t); y(t)) вычисляется по формуле
48. Инвариантность формулы первого дифференциала.
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z = f(x; y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Пусть
z
= f(x;
y),
где x,
y
– независимые переменные. Тогда полный
дифференциал (1 порядка) функции имеет
вид
.
49. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть
имеется поверхность, заданная уравнением F
(x,
y,
z)
= 0.
Плоскость, в которой расположены все
касательные прямые к линиям на поверхности,
проходящим через данную точку 
,
называется касательной
плоскостью к
поверхности в точке
.
Если
поверхность задана уравнением F
(x,
y,
z)
= 0,
то уравнение касательной плоскости к
этой поверхности в точке
, записывается
в виде:
=0
Прямая, проведенная через точку , поверхности F (x, y, z) = 0, перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.
50. Полные дифференциалы высших порядков.
Если
функция z
= f(x;
y)
имеет непрерывные частные производные
второго порядка, то дифференциал второго
порядка определяется так: 
Символически
общий вид дифференциала n-го
порядка от функции z
= f(
) выглядит
следующим образом:
где z
= f(
),
а 
произвольные
приращения независимых переменных
.
Приращения
рассматриваются
как постоянные и остаются одними и теми
же при переходе от одного дифференциала
к следующему. Сложность выражения
дифференциала возрастает с увеличением
числа переменных.
51. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
Теорема:
Пусть функция f(x) задана
в области D
и
имеет в ней все
частные производные до порядка m+1 включительно.
Пусть 
и 
-
две точки области D
такие, что весь отрезок между ними
целиком лежит в D .
Тогда для некоторой точки 
этого
отрезка имеет место равенство
|
|
|
|
|
|
|
|
