13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Ряд распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую характеристику с.в. Однако для непрерывной с.в. такой характеристики построить нельзя из-за бесконечности множества ее значений, заполняющих определенный интервал. Кроме того, в дальнейшем будет показано, что каждое отдельное значение непрерывной с.в. не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Тем не менее, различные области возможных значений непрерывной с.в. не являются одинаково вероятными. Для непрерывной с.в. также существует распределение вероятности, хотя не в том смысле, что для дискретной.

Количественная характеристика с.в.

Дискретная с.в.	Непрерывная с.в.
Вероятность случайного события Х=х	Вероятность случайного события Х<x, где х - текущая переменная
Р(Х<x) зависит от х и является функцией х, это функция распределения F(x) с.в. Х, т.е

Функция распределения – универсальная характеристика с.в., существует и для непрерывных, и для дискретных с.в. Функция распределения – одна из форм закона распределения. Функцию распределения также называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Свойства функции распределения:

1. ;

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если х₂>x₁, то F(х₂)>F(x₁);

3. F(x) – функция, непрерывная слева;

4. F(-)=0; F()=1.

Задача. Найти функцию распределения с.в. Х из задачи №2 предыдущего пункта.

Решение. Ряд распределения имеет вид:

Х	0	1	2
P	0,81	0,18	0,01

Построим функцию распределения величины Х:

1. при х0 F(x)=P(X<x)=0;

2. при 0<x1 F(x)=P(X<x)=P(X=0)=0,81;

3. при 1<x2 F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0,81+0,18=0,99;

4. при x>2 F(x)=P(X<x)= P(X=0)+P(X=1)+Р(Х=2)=0,81+0,18+0,01=1.

Пусть Х – непрерывная с.в.

Вычислим вероятность того, что Х попадет в интервал (a, b), т.е. P(a<X<b).

Рассмотрим три с.с.: X<a, X<b, aX<b. Соотношение между событиями: X<b= (X<a)+(a£X<b); соотношение между вероятностями событий: Р(X<b)= Р(X<a)+Р(a£X<b), т.е. F(b)= F(a)+Р(a£X<b). Имеем:

Р(a£X<b)=F(b)-F(a) (1)

Или

Р(a£X<b)= P(X=a)+Р(a<X<b)=F(b)-F(a) (2)

В равенстве (1) положим а = х₁, b = x₁ + х. Вычислим предел при х0:

, т.е.

P(X=a)=0, т.е.

вероятность того, что непрерывная с.в. примет какое-либо отдельное значение, равна нулю.

Подставляя этот результат в равенство (2), получим, что

Р(a<X<b)=F(b)-F(a),

т.е. вероятность попадания непрерывной с.в. в заданный интервал равна приращению функции распределения на концах интервала.

Контрольные вопросы

1. Что называют случайной величиной?

2. Определите разницу в понятиях «переменная» и «случайная величина».

3. Что называют законом распределения случайной величины?

4. Как задают закон распределения дискретной случайной величины?

5. Какую случайную величину называют дискретной?

6. Что называют рядом распределения случайной величины?

7. Что называют многоугольником распределения?

8. Как определяется функция распределения случайной величины?

9. Какими свойствами обладает функция распределения случайной величины?

10. Как с помощью функции распределения найти вероятность того, что непрерывная случайная величина попадет в интервал (a, b)?