- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
Контрольные вопросы
Что называется суммой а) двух событий? б) трех событий?
Что называется произведением а) двух событий? б) трех событий?
Что называется разностью двух событий?
Какими свойствами обладают операции над событиями?
Как определяются а) зависимые события? б) независимые события?
Как определяется условная вероятность?
Как определить вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных случайных событий А и В?
Как определить вероятность появления хотя бы одного из двух совместных случайных событий А и В?
Как определить вероятность одновременного появления двух независимых случайных событий А и В?
Как определить вероятность одновременного появления двух зависимых случайных событий А и В?
Как можно сформулировать условие независимости двух событий?
Контрольные задания
Доказать законы двойственности.
Доказать, что вероятность появления хотя бы одного из событий А, В, С удовлетворяет соотношению Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС).
В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыш падает на 10 билетов. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?
Определить вероятность того, что случайно взятое двузначное число окажется кратным 2 или 9, или тому и другому одновременно.
На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или 3?
В урне 6 голубых и 4 красных шара. Из нее извлекаются подряд два шара. Какова вероятность того, что а) оба шара голубые? б) один шар голубой, а второй – красный?
Известно, что Р(А)=0,7, Р(В)=0,3, Р(С)=0,1. Найти вероятность того, что в опыте, связанном с появлением этих событий трех событий, произойдет а) только одно из них; б) хотя бы одно из них; в) не менее двух из них; г) только два из них.
В мастерской работают два мотора, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа а) хотя бы один из моторов потребует внимания мастера; б) ни один из моторов не потребует внимания мастера.
7. Формула полной вероятности
Следствием обеих основных теоремы – теоремы сложения и теоремы умножения вероятности – является формула полной вероятности.
Допустим, что некоторое событие А может произойти вместе с одним из событий Н1, Н2, …, Нn, образующих полную группу случайных событий. Поскольку заранее неизвестно, с каким именно из Н1, Н2, …, Нn произойдёт событие А, то Н1, Н2, …, Нn называются гипотезами.
Вероятность события А в этом случае вычисляется по формуле полной вероятности
.
В с.д., так как гипотезы Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из гипотез:
А=АН1+А Н2+ …+А Нn.
Так как гипотезы Н1, Н2, …, Нn несовместны, то и комбинации АН1, АН2, …, АНn также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:
.
Применяя к событиям АН1, АН2, …, АНn теорему умножения, получим:
.
Задача. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один чёрный шар; во второй – три белых и один чёрный; в третьей – два белых и два чёрных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение. Рассмотрим событие А – «появление белого шара» и три гипотезы:
Н1 – «выбор первой урны»;
Н2 – «выбор второй урны»;
Н3 – «выбор третьей урны».
По условию задачи гипотезы равновозможны, т.е. . Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:
, , . По формуле полной вероятности имеем:
.