- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
Контрольные вопросы
Что называют числовыми характеристиками (или параметрами) случайной величины?
Как определяется математическое ожидание случайной величины: а) дискретной; б) непрерывной?
Что характеризует математическое ожидание случайной величины?
Сформулируйте свойства математического ожидания.
Как определяется дисперсия случайной величины?
Что характеризует дисперсия случайной величины?
Как выглядят формулы, определяющие дисперсию, для случайной величины: а) дискретной; б) непрерывной?
Сформулируйте свойства дисперсии.
Что такое среднее квадратическое отклонение случайной величины?
Что характеризует среднее квадратическое отклонение и в чем смысл его введения?
Как определяется начальный момент k-го порядка случайной величины?
Как определяется центральный момент k-го порядка случайной величины?
Как выглядят формулы, связывающие центральные моменты случайной величины с ее начальными моментами?
В чем состоит вероятностный смысл начальных и центральных моментов трех первых порядков?
Контрольные задания
Докажите свойства 3 – 4 математического ожидания для дискретной случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:
-
Х
0
2
3
4
Р
0,1
0,2
0,3
0,4
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин: а) Х; б) –2Х; в) 2Х + 3,5.
Докажите свойства 3 – 5 дисперсии для дискретной случайной величины.
Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в цель, если каждый стрелок производит : а) по одному выстрелу; б) по два выстрела.
Предприниматель рассматривает возможность покупки акций трех предприятий, по каждой из которых известна доходность, определяемая как отношение величины получаемого дохода за определенный период времени к цене акции и вероятности возможных значений доходности. Акции какого предприятия следует считать более доходными, если руководствоваться средним значением (математическим ожиданием) доходности?
Предприятие 1 |
Предприятие 2 |
Предприятие 3 |
|||
Доходность (в %) |
Вероят-ность |
Доходность (в %) |
Вероят-ность |
Доходность (в %) |
Вероят-ность |
3 |
0,1 |
5 |
0,2 |
1 |
0,1 |
7 |
0,4 |
7 |
0,3 |
6 |
0,4 |
10 |
0,3 |
9 |
0,4 |
10 |
0,2 |
15 |
0,2 |
11 |
0,1 |
20 |
0,3 |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей плотность распределения:
а) б)
Случайные величины независимы, имеют одно и то же математическое ожидание a и одинаковую дисперсию . Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих случайных величин.