- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
Контрольные вопросы
Что называется функцией распределения системы случайных величин Х и Y?
Сформулируйте свойства функции распределения системы случайных величин Х и Y.
Как определить функции распределения составляющих системы с.в. (Х; Y), зная функцию совместного распределения системы (Х; Y)?
Каким образом выглядят формулы попадания случайной величины (Х; Y): а) в полуполосу, параллельную оси Ох; б) в полуполосу, параллельную оси Оу; в) в прямоугольник?
Что называется плотностью совместного распределения системы (Х; Y)?
Как определить вероятность попадания непрерывной с.в. (Х; Y) в область D?
Как определить плотности распределения составляющих системы с.в. (Х; Y), зная плотность совместного распределения системы (Х; Y)?
Что называется условным законом распределения системы (Х; Y)?
Каким образом можно найти условный закон распределения составляющей Х при условии, что составляющая Y приняла значение, равное у, если: а) Х; Y – дискретные с.в.; б) Х; Y – непрерывные с.в.?
27. Зависимые и независимые случайные величины
При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами может быть настолько тесной, что, зная значение одной случайной величины, можно в точности указать значение другой величины. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми.
Понятие о независимых случайных величинах – одно из важнейших понятий теории вероятностей.
Случайная величина Y называется независимой от случайной величины Х, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина Х. Т.о., для непрерывных случайных величин справедливы
Условия независимости |
Условия зависимости |
,
|
,
|
Таким образом, если система случайных величин (Х, Y) характеризуется плотностью p(x, y), то условие независимости составляющих Х и Y формулируется так:
Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих, т.е.
.
Сформулируем необходимое и достаточное условие независимости составляющих Х и Y в другой форме.
Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих, т.е. .
Докажем необходимость. Поскольку случайные величины Х и Y независимы, то события X<x и Y<y – также независимы, следовательно, Р(X<x, Y<y) = Р(X<x)Р(Y<y), что в свою очередь означает, что .
Докажем достаточность. , т.е. Р(X<x, Y<y) = = Р(X<x)Р(Y<y), что означает, что вероятность совмещения событий X<x и Y<y равна произведению вероятностей этих событий, следовательно, Х и Y независимы.