- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
Контрольные вопросы
Что называется испытанием (опытом)?
Что называется событием?
Какое событие называется а) достоверным? б) случайным? в) невозможным?
Какие события называются а) несовместными? б) совместными?
Какие события называются противоположными?ываются а) несовместными б) совместнымиывается случайным?
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Что называется полной группой случайных событий?
Если события не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?
Образуют ли события А и полную группу?
Какие элементарные исходы благоприятствуют данному событию?
Какое определение вероятности называется классическим?
В каких пределах заключена вероятность любого события?
При каких условиях применяется классическая вероятность?
При каких условиях применяется геометрическая вероятность?
Какое определение вероятности называется геометрическим?
Что называется частотой события?
Какое определение вероятности называется статистическим?
Контрольные задания
Из букв слова «консерватория» наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная. Найти вероятность, что это буква «о».
На одинаковых карточках написаны буквы «о», «р», «с», «т». Найти вероятность того, что на разложенных наудачу в ряд карточках появится слово «трос».
В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
Подбрасывается два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках больше 6.
На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово «молот»?
Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?
Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры таковы, что их произведение равно нулю.
Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число является делителем 30.
Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число кратно 3.
Наудачу выбрано число, не превосходящее 50. Найти вероятность того, что это число простое.
4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
Сумой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.
Сумма двух событий А и В обозначается через А+В. Аналогично определяется и обозначается сумма n событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.
Произведением, или пересечением, двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается АВ. Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий.
Если событие А произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событий В представляет собой частный случай события А, и пишут . Также говорят, что В влечет А.
Если и , т.е. события А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными, или эквивалентными, и пишут А=В.
Операции объединения и пересечения событий обладают некоторыми свойствами. Обозначим U – достоверное событие, V – невозможное событие, - событие, противоположное событию А.
Свойства операций над событиями:
№ и название свойства |
Сумма событий |
Произведение событий |
1. Коммутативность |
А+В=В+А |
АВ=ВА |
2. Ассоциативность |
А+(В+С)=(А+В)+С |
А(ВС)=(АВ)С |
3. Дистрибутивность |
|
А(В+С)=АВ+АС |
4. |
А+А=А |
АА=А |
5. |
А+ =U |
A =V |
6. |
A+U=U |
AU=A |
7. |
A+V=A |
AV=V |
8. |
A=AB+A |
|
9. Двойственность |
|
|
Свойства 1-4 следуют из определения операций объединения и пересечения.
Докажем свойство №8:
.
Это свойство позволяет разложить любое событие А на сумму двух несовместных событий.
Если , то АВ=В и применение свойства 8 дает следующий результат: A=B+A.
Разностью событий А и В называется событие А-В, которое заключается в наступлении события А и ненаступлении события В.
Задачи
Событие А – «появление герба при одном подбрасывании монеты», событие В – «появление двух гербов при подбрасывании двух монет». Найти и .
Подбрасывается игральный кубик. Обозначим события: А – «выпадение 6 очков», В – «выпадение трех очков», С – «выпадение четного числа очков», D – «выпадение числа очков, кратного трем». Каковы соотношения между этими событиями?
Опыт – подбрасывание игрального кубика. События Аk – «выпадение k очков», А – «выпадение четного числа очков», В – «выпадение нечетного числа очков», С – «выпадение числа очков, кратного трем», D – «выпадение числа очков, большего трех». Выразить события А, В, С, D через события Аk.
Пусть А, В, С – произвольные событии. Что означают следующие события: , , , , ?
Решение
- «появление цифры при одном подбрасывании монеты»; - «появление герба+цифра или цифра+цифра, или цифра+герб».
, , A+B=D, CD=A.
А=А2+А4+А6, В=А1+А3+А5, С=А3+А6, D=А4+А5+А6.
- «произошло событие А, не произошли В и С»; - «не произошло хотя бы одно из трех событий»; - «произошло ровно одно из событий»; - «произошло не более одного из событий».