- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
18. Типы распределений дискретных случайных величин
Пусть Х – дискретная случайная величина. Название закона распределения определяется тем, как находится вероятность возможных значений этой с.в.
Биномиальное распределение
Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и р, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями
, k = 1, 2, …, n, q = 1 – p.
Ряд распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону, имеет вид:
-
X
0
1
2
…
n
P
…
Биномиальное распределение является распределением числа «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятностью р «успеха» и вероятностью q = 1 – p «неудачи».
Если Х подчиняется биномиальному распределению, то верны следующие соотношения:
М(х)=np, D(x)=npq.
18.2 Гипергеометрическое распределение
Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами N, M, n (N, M, n – натуральные числа, , ), если она принимает значения с вероятностями
, ,
где , .
Ряд распределения случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, имеет вид:
-
X
…
P
…
Гипергеометрическое распределение является распределением числа объектов, обладающих заданным свойством среди n объектов, случайно извлеченных без возвращения из совокупности объектов, из которых M обладают этим свойством.
18.3 Геометрическое распределение
Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметрами р (0<p<1), если она принимает значения 1, 2, …, n, … с вероятностями
, , k = 1, 2, …, n, …
Геометрический закон распределения является распределением числа испытаний Бернулли до появления первого «успеха», включая последнее успешное испытание, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна р. Действительно, чтобы осуществить событие необходимо, чтобы произошло подряд «неудач» с вероятностью , а затем «успех» с вероятностью р.
Если Х подчиняется геометрическому распределению, то верны следующие соотношения:
;
4. Распределение Пуассона
Рассмотрим дискретную с.в. Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения, образующие бесконечную последовательность: 0, 1, 2, …, m, …
Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой
,
где , m=0, 1, …
Ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, имеет вид
X |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
P |
|
|
|
… |
|
… |
Если Х подчиняется распределению Пуассона, то верны следующие соотношения:
М(х)=λ, D(x)=λ.
Характерной особенностью распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии параметру . Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.