- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
Контрольные вопросы
В чем состоит разница в понятиях «теоретический коэффициент корреляции» и «выборочный коэффициент корреляции»?
Как определяется выборочный коэффициент корреляции?
Сформулируйте свойства выборочного коэффициента корреляции.
Что означает значимость теоретического коэффициента корреляции?
Как проверить значимость теоретического коэффициента корреляции по известному значению выборочного коэффициента корреляции, если имеется выборка большого объема?
Какой вид имеет уравнение регрессии переменной Y на Х в случае линейной регрессионной модели?
Как оценивается теоретическая прямая регрессии переменной Y на Х?
Как определяется точечный прогноз среднего значения зависимой переменной Y при заданном значении независимой переменной Х?
Контрольные задания
Исследуется зависимость между количеством Х покупателей в ювелирном магазине и количеством Y проданных товаров. За 10 дней наблюдения получили следующие данные:
-
Количество покупателей
50
61
72
43
60
65
76
55
62
40
Число покупок
10
12
20
9
15
15
21
14
18
7
Оцените тесноту и направление между количеством покупателей в магазине и количеством проданных товаров с помощью выборочного коэффициента корреляции. Оцените значимость корреляции между рассматриваемыми переменными с надежностью 0,95. Построить модель линейной регрессии. Если в магазине было 80 покупателей, сколько было продано товара?чеством проданных товаров с помощью выборочного коэффициент
По результатам тестирования школьников по чтению и арифметике на основе набранных баллов получены следующие данные:
-
Чтение
43
58
45
37
58
55
61
46
64
62
Арифметика
32
25
28
22
25
22
20
20
30
28
Оцените тесноту и направление связи между знаниями школьника по чтению и по арифметике с помощью выборочного коэффициента корреляции. Оцените значимость корреляции между рассматриваемыми переменными с надежностью 0,99.
Литература
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 18, п.п. 1 – 9, гл. 19 п. 22.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 12, п. 1; гл. 13, п. 12.
ТЕСТЫ
1. |
Монета подбрасывается только один раз. Событие А – «выпал герб», Событие В - «выпала цифра». Вероятность события А·В равна… |
1. |
0 |
2. |
½ |
||
3. |
¼ |
||
4. |
1 |
2. |
У мальчика в левом кармане три конфеты «Белочка» и одна «Маска». В правом – две «Белочки» и две «Маски». Он достал две конфеты из одного кармана, и оказалось, что одна из них «Белочки», а другая – «Маска». Какова вероятность того, что он достал конфеты из левого кармана? |
1. |
3/7 |
2. |
1 |
||
3. |
4/7 |
||
4. |
½ |
3. |
Три человека производят выстрелы в мишень. Каждый из них попадает в мишень с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что в мишень попадут двое из трёх? |
1. |
0,432 |
2. |
0,288 |
||
3. |
0,72 |
||
4. |
0 |
4. |
Какова вероятность того, что при 10 подкидываниях монеты герб выпадет ровно 5 раз? |
1. |
0,25 |
2. |
0,75 |
||
3. |
0,5 |
||
4. |
1 |
5. |
Партия транзисторов, среди которых 10% дефективных, поступает на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и существует вероятность 0,03, что исправный транзистор будет признан дефективным. Случайно выбранный из партии транзистор был признан дефективным. Вероятность того, что на самом деле транзистор исправен, равна… |
1. |
|
2. |
|
||
3. |
|
||
4. |
|
6. |
Какова вероятность того, что при 2-х подкидываниях монеты 2 раза выпадет герб? |
1. |
0 |
2. |
0,25 |
||
3. |
0,5 |
||
4. |
0,75 |
7. |
У короля есть 100 сундуков с золотыми монетами, каждый из которых содержит 100 монет. В каждом сундуке есть фальшивая монета. Король берет из каждого сундука по одной монете. Какова вероятность того, что король найдет хотя бы одну фальшивую монету? |
1. |
0,01 |
2. |
0,63 |
||
3. |
0,99 |
||
4. |
0,5 |
8. |
Вероятности банкротства двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,1 и 0,15. Вероятность банкротства сразу двух этих предприятий, равна… |
1. |
0,25 |
2. |
0,015 |
||
3. |
0,765 |
||
4. |
0,15 |
9. |
Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,8 и 0,75. Вероятность того, что цель будет поражена, равна |
1. |
0,4 |
2. |
0,55 |
||
3. |
0,6 |
||
4. |
0,95 |
10. |
Опыт состоит в том, что стрелок производит три выстрела по мишени. Событие - «попадание в мишень при k-ом выстреле (k=1, 2, 3)». Выразить событие «не меньше двух попаданий при трех выстрелах» через события (k=1, 2, 3) |
1. |
|
2. |
|
||
3. |
|
||
4. |
|
11. |
В мастерской работают два мотора, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,8. Вероятность того, что в течение часа хотя бы один из моторов потребует внимания мастера, равна… |
1. |
. |
2. |
. |
||
3. |
|
||
4. |
0,15·0,2 |
12. |
Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 5 единиц. Каждый из объектов может быть потерян (независимо от других) с вероятностью 0,1. Вероятность того, что будет потеряно более трех объектов, равна… |
1. |
|
2. |
|
||
3. |
|
||
4. |
|
13. |
При неограниченном значении числа независимых опытов, в каждом из которых случайное событие А может появиться с одинаковой вероятностью 0,4, относительная частота появления события А сходится по вероятности к… |
1. |
1 |
2. |
0,6 |
||
3. |
0,4 |
||
4. |
∞ |
14. |
Игральная кость подбрасывается ровно один раз. Вероятность того, что на верхней грани выпадет не менее 5 очков, равна |
1. |
5/6 |
2. |
1/6 |
||
3. |
½ |
||
4. |
1/3 |
15. |
Бросают две монеты. События «герб на первой монете» и «герб на второй монете» являются… |
1. |
несовместными и независимыми |
2. |
совместными и независимыми |
||
3. |
несовместными и зависимыми |
||
4. |
совместными и зависимыми |
16. |
Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее фондах книга или нет. И если книга есть, то одинаково вероятно занята она другими читателями или нет. Библиотеки комплектуются независимо одна от другой. Какова вероятность того, что студент получит книгу? |
1. |
37/64 |
2. |
27/64 |
||
3. |
1/2 |
||
4. |
1/3 |
17. |
В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне – 7 черных и 3 белых шара. Из наудачу взятой урны вынут один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым. |
1. |
0,4 |
2. |
0,45 |
||
3. |
0,15 |
||
4. |
0,9 |
18. |
С первого станка на сборку поступает 40%, а со второго станка 60% всех деталей. Среди деталей, поступивших с первого станка 1% бракованных, со второго станка – 2%. Вероятность того, что деталь, поступившая на сборку, является бракованной равна… |
1. |
0,014 |
2. |
0,015 |
||
3. |
0,03 |
||
4. |
0,016 |
19 |
Вероятность выиграть две партии из 4 у равносильного противника (ничья не в счет) равна… |
1. |
1/8 |
2. |
3/8 |
||
3. |
1/16 |
||
4. |
1/2 |
20. |
Наиболее вероятное число выпадений герба при 5 подбрасываниях монеты равно… |
1. |
4 |
2. |
3 |
||
3. |
2 |
||
4. |
3 и 2 |
21. |
Страхуется 2000 автомобилей. Считается, что каждый из них может попасть в аварию с вероятностью 0,001. Для вычисления вероятности того, что количество аварий среди всех застрахованных автомобилей не превзойдет 100, следует воспользоваться |
1. |
формулой Пуассона |
2. |
интегральной формулой Муавра-Лапласа |
||
3. |
формулой Бейеса |
||
4. |
формулой полной вероятности |
22. |
Вероятность появления события А в 10 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,8. Дисперсия числа появлений этого события равна |
1. |
0,16 |
2. |
1,6 |
||
3. |
0,08 |
||
4. |
8 |
23. |
Ряд распределения случайной величины Х:
Найти р3 |
1. |
0,1 |
||||||||||||
2. |
0,2 |
||||||||||||||
3. |
0,3 |
||||||||||||||
4. |
0,4 |
24. |
Дан ряд распределения дискретной случайной величины:
Найти математическое ожидание случайной величины |
1. |
4,3 |
||||||||
2. |
0,9 |
||||||||||
3. |
3,0 |
||||||||||
4. |
11 |
25. |
При одном опыте событие А появляется с вероятностью 0,7. Математическое ожидание числа появлений события А в одном опыте равно… |
1. |
0,3 |
2. |
0,5 |
||
3. |
0,7 |
||
4. |
1 |
26. |
Дан ряд распределения дискретной случайной величины:
Найти математическое ожидание квадрата величины |
1. |
14,6 |
||||||||
2. |
1,8 |
||||||||||
3. |
81 |
||||||||||
4. |
1,46 |
27. |
Дан ряд распределения дискретной случайной величины:
Найти дисперсию этой случайной величины
|
1. |
3,69 |
||||||||
2. |
24,6 |
||||||||||
3. |
29,7 |
||||||||||
4. |
74 |
28. |
Математическое ожидание случайной величины Х равно 2, математическое ожидание случайной величины 3Х+1 равно… |
1. |
2 |
2. |
4 |
||
3. |
6 |
||
4. |
7 |
29. |
Дисперсия случайной величины Х равна 2, дисперсия случайной величины 3Х-1 равна… |
1. |
2 |
2. |
5 |
||
3. |
6 |
||
4. |
18 |
30. |
Производится 10 независимых испытаний, вероятность появления события B в каждом из этих испытаний, равна 0,4. Математическое ожидание числа появлений события В равно
|
1. |
2,4 |
2. |
0,410 |
||
3. |
4 |
||
4. |
100,4 |
31. |
Случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка, называют... |
1. |
дискретной |
2. |
неопределенной |
||
3. |
непрерывной |
||
4. |
относительной |
32 |
Непрерывная случайная величина распределена равномерно на отрезке [-11; 20]. Найти Р(X<0) |
1. |
11/31 |
2. |
10/31 |
||
3. |
5/16 |
||
4. |
11/32 |
33 |
Непрерывная случайная величина распределена равномерно на отрезке [-11; 26]. Найти Р(X>-4) |
1. |
29/37 |
2. |
15/19 |
||
3. |
19/38 |
||
4. |
30/37 |
34 |
Если плотность распределения вероятности случайной величины Х представлена функцией , то дисперсия Х равна… |
1. |
1 |
2. |
2 |
||
3. |
8 |
||
4. |
4 |
35 |
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при (t – время). Вероятность того, что элемент проработает безотказно более 100 ч, равна… |
1. |
|
2. |
|
||
3. |
|
||
4. |
|
36 |
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при (t – время, ч). Среднее время безотказной работы элемента, равно… |
1. |
0,02 |
2. |
2 |
||
3. |
25 |
||
4. |
50 |
37 |
Функция представляет собой плотность распределения вероятности некоторой случайной величины на интервале (0; 2) при а, равном… |
1. |
1 |
2. |
2 |
||
3. |
1/3 |
||
4. |
1/2 |
38 |
Плотность распределения случайной величины Х равна . Найти D(1-Х) |
1. |
3 |
2. |
-2 |
||
3. |
9 |
||
4. |
0 |
39 |
Плотность распределения случайной величины Х равна . Найти М(1-Х) |
1. |
3 |
2. |
-2 |
||
3. |
9 |
||
4. |
0 |
40 |
Если случайная величина Х подвержена показательному распределению с плотностью то математическое ожидание Х равно… |
1. |
е |
2. |
5 |
||
3. |
1/5 |
||
4. |
1/25 |
41 |
График плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (-1; 4), имеет вид:
Значение параметра а равно… |
1. |
0,2 |
2. |
1 |
||
3. |
0,25 |
||
4. |
0,33 |
42 |
Если случайная величина Х равномерно распределена в интервале (1; 5), то М(2Х) равна… |
1. |
2 |
2. |
3 |
||
3. |
4 |
||
4. |
6 |
43 |
При обследовании признака генеральной совокупности получены следующие значения: 0, 1, 2, 1, 0, 4, 2, 1, 3, 7, 5, 1, 2, 0, 5, 7, 5, 4. Найти значение эмпирической функции распределения при х=2. |
1. |
1/6 |
2. |
3 |
||
3. |
7/18 |
||
4. |
5/9 |
44 |
При обследовании признака генеральной совокупности получены следующие значения: 1, 3, 5, 2, 7, 5. Известно, что признак подчинен показательному распределению с М(Х)= . Найти параметр а. |
1. |
23/6 |
2. |
6/23 |
||
3. |
23/2 |
||
4. |
2/23 |
45 |
Произведено 5 измерений без систематических ошибок некоторой случайной величины (в мм): 4; 5; 8; 9; 11. Несмещенная оценка математического ожидания равна … |
1. |
8 |
2. |
7,6 |
||
3. |
9,25 |
||
4. |
7,4 |
46 |
Произведено 3 измерения без систематических ошибок над некоторой физической случайной величиной (в мм): 10; 12; 14. Несмещенная оценка дисперсии равна… |
1. |
4 |
2. |
8 |
||
3. |
12 |
||
4. |
3 |
47 |
Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид… |
1. |
(10; 10,9) |
2. |
(8,4; 10) |
||
3. |
(8,5; 11,5) |
||
4. |
(8,6; 9,6) |
48 |
Произведено 4 измерения без систематических ошибок некоторой случайной величины (в кг): 5; 6; 9; 12. Несмещенная оценка математического ожидания равна … |
1. |
7 |
2. |
8 |
||
3. |
8,25 |
||
4. |
8,5 |
49 |
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
Найти n4 |
1. |
50 |
||||||||||
2. |
23 |
||||||||||||
3. |
24 |
||||||||||||
4. |
7 |
50 |
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50, полигон частот имеет вид:
ni 14
8 4
0 1 2 3 4
xi Число вариант xi = 3 в выборке равно… |
1. |
8 |
2. |
10 |
||
3. |
12 |
||
4. |
14 |
51 |
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
Средняя выборочная равна… |
1. |
1 |
||||||||||
2. |
2,5 |
||||||||||||
3. |
126/50 |
||||||||||||
4. |
133/50 |
52 |
При обследовании признака генеральной совокупности получены следующие значения: 0, 1, 2, 1, 0, 4, 2, 1, 3, 7, 5, 1, 2, 0, 5, 7, 5, 4. Несмещенная оценка генеральной средней равна… |
1. |
1 |
2. |
10/3 |
||
3. |
25/9 |
||
4. |
5/2 |
53 |
ni/h 18 a
12
4
0
2 4 6 8 xi При выборке объема n = 100 построена гистограмма частот. Значение а равно…
|
1. |
66 |
2. |
15 |
||
3. |
17 |
||
4. |
16 |
54 |
При выборке объема n построена гистограмма частот.
З
ni/h
30 20 15
10
0
2
4
6 8 xi
|
1. |
150 |
2. |
75 |
||
3. |
300 |
||
4. |
30 |
55 |
В результате опытов над случайной величиной оказалось, что абсолютная величина отклонения ее значений от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. Выдвигается гипотеза о том, что рассматриваемая случайная величина подчинятся… |
1. |
Показательному закону распределения |
2. |
Нормальному закону распределения |
||
3. |
Закону равномерной плотности |
||
4. |
Закону распределения Пуассона |
56 |
Коэффициент корреляции случайных величин Х и Y равен 0,7. Между случайными величинами Х и Y…
|
|
не существует корреляционной зависимости |
|
существует возрастающая корреляционная зависимость |
||
|
существует убывающая корреляционная зависимость |
||
|
существует убывающая функциональная зависимость |
57 |
С надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности имеет вид: (10; 10,8). С какой вероятностью математическое ожидание попадает в указанный интервал? |
1. |
0 |
2. |
0,05 |
||
3. |
0,95 |
||
4. |
1 |
58 |
В результате обработки опытного материала обширного объема вычислены два первых эмпирических момента: 0,168 и 1,69 (соответственно). Эмпирическое распределение выровнено с помощью нормального закона вида… |
1. |
|
2. |
|
||
3. |
|
||
4. |
|
59 |
Если нулевая гипотеза имеет вид: Н0: а=5, то конкурирующей может быть гипотеза |
1. |
Н1: а≥5 |
2. |
Н1: а≠5 |
||
3. |
Н1: а<15 |
||
4. |
Н1: а≤5 |
60 |
На уровне значимости α=0,01 проверяется нулевая гипотеза Н0: признак генеральной совокупности подчиняется нормальному закону распределения. Если в результате проверки Н0 будет отвергнута, то вероятность ошибки решения такого рода равна |
1. |
0 |
2. |
0,01 |
||
3. |
0,99 |
||
4. |
1 |