5.Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятности формулируется следующим образом.

Вероятность того, что в одном и том же опыте произойдет одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, из которых m случаев благоприятствует событию А, а k случаев – событию В, причем всего было n случаев. Тогда Р(А)= , Р(В)= . Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны и А, и В вместе. Следовательно, событию А+В благоприятны m+k случаев и Р(А+В)= . Получили, что Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема сложения легко обобщается и на случай 3 несовместных событий: Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С), и вообще любого конечного числа несовместных событий.

Следствия из теоремы сложения вероятности

1. Если события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу случайных событий, то сумма их вероятностей равна 1, т.е. .

В самом деле, так как А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу случайных событий, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие: Р(А₁+ А₂+ …+А_n)=1 . Так как А₁, А₂, …, А_n – несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей: Р(А₁+ А₂+ …+А_n)= Р(А₁)+Р(А₂)+ …+Р(А_n)=1, т.е. .

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. Р(А)+Р( )=1.

В самом деле, А и образуют полную группу случайных событий, значит в соответствии со свойством 1 имеем: Р(А)+Р( )=1.

Следствие 2 весьма важно в практическом применении теории вероятности. На практике часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем непосредственно вероятность события А. В этих случаях вероятность находят по формуле Р(А)=1–Р( ).

Задача. Круговая мишень состоит из трех зон: 1, 2, 3. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую – 0,23, в третью – 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение. Обозначим А – промах, - попадание, тогда , где – попадание в i-тую зону. Р( )=0,15+0,23+0,17=0,55. Отсюда Р(А)=1–Р( )=1–0,55=0,45.

В том случае, когда события А и В являются совместными, теорема сложения вероятности формулируется следующим образом.

Вероятность того, что в одном и том же опыте произойдет хотя бы одно из двух совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е. если А и В совместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

В самом деле, А+В=АВ+А + В, Р(А+В)=Р(АВ)+Р(А )+Р( В),

Р(А)=Р(АВ+А )= Р(АВ)+Р(А ), Р(В)=Р(АВ+ В)= Р(АВ)+Р( В).

Имеем:

Р(А )=Р(А)- Р(АВ); Р( В)=Р(В)- Р(АВ). Окончательно Р(А+В)= =Р(АВ)+Р(А )+Р( В)=Р(АВ)+Р(А)-Р(АВ)+Р(В)-Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Формула доказана.

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС).

Для произведения событий можно записать следующую формулу:

Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А+В).

Задача. Техническое устройство состоит из трех агрегатов: двух агрегатов первого типа - А₁ и А₂, и одного агрегата второго типа В. Агрегаты А₁ и А₂ дублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат В не дублирован. Для того чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно, чтобы одновременно отказали оба агрегата А₁ и А₂ или же агрегат В. Таким образом, отказ устройства - событие С – представляется в виде: С= А₁ А₂ +В, где А₁ и А₂ - соответственно отказ агрегатов А₁ и А₂, В – отказ агрегата В. Требуется выразить вероятность события С через вероятность событий, содержащих только суммы, а не произведения событий А₁, А₂ и В.

Решение. Р(С)=Р(А₁ А₂ +В)=Р(А₁ А₂ )+Р(В)-Р(А₁ А₂ В); Р(А₁ А₂ )= Р(А₁)+Р(А₂)-Р(А₁ + А₂) . Аналогично Р(А₁ А₂ В)= Р(А₁)+Р(А₂)+Р(В)-Р(А₁ + А₂)- Р(В + А₂)- Р(А₁ + В)+ Р(А₁ +А₂ +В). Подставляя эти выражения в первоначальное равенство, получим Р(С)= Р(В + А₂)+ Р(А₁ + В)- Р(А₁ +А₂ +В).