- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
17. Моменты распределения случайной величины
Рассмотрим распределение дискретной случайной величины:
Х |
2 |
4 |
7 |
100 |
P |
0,6 |
0,2 |
0,19 |
0,01 |
Математическое ожидание данной величины равно 4,33.
Вычислим математическое ожидание квадрата случайной величины, предварительно составив ряд распределения Х2:
Х2 |
4 |
16 |
49 |
10000 |
P |
0,6 |
0,2 |
0,19 |
0,01 |
М(Х2)=114,91.
Разница между М(Х) и М(Х2) объясняется тем, что при возведении в квадрат возможных значений х, значение х=100 значительно увеличилось, а его вероятность осталась прежней. Переход от М(Х) к М(Х2) позволяет учесть влияние, которое оказывает на математическое ожидание то возможное значение случайной величины, которое велико и имеет малую вероятность. Поэтому возникает необходимость рассматривать математическое ожидание целой степени случайной величины.
Математическое ожидание k-той степени случайной величины называется начальным моментом k-того порядка:
.
Для вычисления начальных моментов используются формулы:
- для дискретной случайной величины
- для непрерывной случайной величины.
В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию с.в., в с.д., .
Дисперсия случайной величины представляет собой разность начального момента второго порядка и квадрата начального момента первого порядка:
.
Центральным моментом k-того порядка называется математическое ожидание k-той степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:
.
Для вычисления центральных моментов используются формулы:
- для дискретной случайной величины
- для непрерывной случайной величины.
Несложно показать, что ; .
Центральные моменты можно связать с начальным моментами посредством следующих равенств:
;
;
.
Моменты более высоких порядков встречаются редко.
К ак уже было сказано ранее, числовые характеристики описывают различные особенности распределения случайных величин.
В частности, центральный момент третьего порядка служит характеристикой асимметрии (скошенности) распределения. Так как имеет размерность, равную кубу размерности случайной величины, то обычно для этой цели служит безразмерная величина, называемая коэффициентом асимметрии .
Если случайная величина распределена симметрично относительно своего математического ожидания, то . На рисунке показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию, второе (кривая II) - отрицательную асимметрию.
Четвертые центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью эксцесса. Эксцессом случайной величины Х называется величина .
Ч исло 3 вычитается из отношения потому, что для весьма распространенного в природе нормального распределения =3. На рисунке представлены: нормальное распределение (кривая II), распределение с положительным эксцессом (кривая I) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).