21 Частные случаи движения точки.

1. Прямолинейные движения. Если траекторией точки является прямая линия, то ro = беск, тогда an = 0 и ускорение точки = только касательному ускорению.

А=at=dv/dt

Таким образом касательное ускорение характеризует изменение числового значения скорости.

2. Равномерное криволинейное движение. Равномерным называется такое криволинейное движение точки в котором числовое значение скорости все время остается постоянным.

Тогда at=dv/dt = 0

И ускорение точки = только нормальному ускорению.

A=an v^2/ro

Вектор ускорения А при этом направлен всегда по нормали траектории точки.

Таким образом нормальное ускорение характеризует нормальное изменение скорости по направлению.

Найдем закон равномерного криволинейного движения точки.

Как известно DS = dv/dt пусть начальный момент времени t=1 точка находится от начала отсчета на расстоянии s0 тогда беря от левой и правой частей равентсва определенные интегралы соответсвующих приделов получим.

Таким образом путь пройденный точки растет пропорционально времени, а скорость точки = отношению пути ко времени.

Если положить S0=0 S=v*t

3. Равномерное прямолинейное движение. В Этом случае an=at=0 a=0.

Единственное движение в котором ускорение точки всегда = 0 является равномерное прямолинейное движение.

22 Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки при котором касательное ускорение остается всё время постоянным.

Найдем закон этого движения считая, что при t=0 s=s0 v=v0 Как известно dv=at*dt.

At=const то беря от обеих частей равенства интергралы в соответсвующих приделах получим v=v0+at*t или иначе ds/t=v0+at*t или ds=v0*dt+at*t*dt.

Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, если убывает – замедленным.

Так как изменение модуля скорости называется косательным ускорением, то движение будет ускоренным, если v и at имеют одинаковые знаки и замедленным если разные.

Промежуток времени Т=t1=2п/k в течении которого точка совершает одно полное колебание называется периодом колебаний.

Беря производные от x по t найдем значение скорости и ускорения.

A=ax=-Ak^2coskt.

Следовательно, в этом движении и скорость и ускорение точки изменяются с течением времени по гармоническому закону.

По знакам V и A легко проверить, что когда точка движется к центру колебаний ее движение является ускоренным, а когда от центра замедленным.

Аналогичные колебания происходят и при законе x=a*sinkt движение в этом случае начинается из центра колебаний.

Гармонические колебания по закону s=Acoskt S=Asinkt точка может совершать двигаясь вдоль любой кривой. Всё сказанное о характере движения при этом сохраняется за исключением ускорения.

Ускорения косательной нормальная рассчитывается по формулам:

An=V^2/ro

Графики движения скорости и ускорения точки.

Если откладывать вдоль оси абсцисс время t а вдоль оси ординат расстояние s. То построенная в этих осях кривая s=v(t) будет изображать график расстояний или график движения точки.

Аналогично могут быть построены кривые дающие зависимость V(t) – график скорости от Ta(t) An(t) A(t) – графики косательного, нормального и полного ускорения.

График равномерного движения изображается прямой линией направленной под углом к оси абсцисс, график скорости прямой параллельной оси абсцисс, график косательного ускорения прямой совпадающей с осью абсцисс.

Для равнопеременного движения график движения изображается ветвью параболы, график скорости прямой направленной под углом к оси абсцисс, график костельного ускорения прямой параллельной оси абсцисс. Для горманических колебаний соответствующие графики изображаются косинусойдами и синусойдами.

Колебаниями называются движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы имеют широкое распространение в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника меняет свое положение координата его центра масс, при переменном токе меняют свои характеристики с определенной повторяемостью напряжение и ток в цепи. Колебательный процесс может имет различную физическую природу, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Но различные колебательные процессы характеризуются одинаковыми физическими параметрами и одинаковыми уравнениями. Отсюда вытекает целесообразность единого подхода к исследованию колебаний различной физической природы. Например, единый подход к исследованию механических и электромагнитных колебаний использовался английским физиком Д.У.Рэлеем (1842—1919), русским инженером-экспериментатором П. Н. Лебедевым (1866—1912), А.Г.Столетовым. Большой вклад в развитие теории колебаний сделали Л. И. Мандельштам (1879—1944) и его ученики. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему, которая совершает колебания. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Исследование гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, которые встречаются в природе и технике, часто имеют близкий к гармоническому характер ; 2) различные периодические процессы (процессы, которые повторяются через равные промежутки времени) можно представить как суперпозицию (наложение) гармонических колебаний. Гармонические колебания некоторой величины s описываются уравнением вида (1) где ω₀ — круговая (циклическая) частота, А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, φ — начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω₀t+φ) - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания есть значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус имеет значение в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А. Определенные состояния системы, которая совершает гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, имеющий название период колебания, за который фаза колебания получает приращение (изменение) 2π, т. е. откуда (2) Величина, обратная периоду колебаний, (3) т. е. число полных колебаний, которые совершаются в единицу времени, называется частотой колебаний. Сопоставляя (2) и (3), найдем Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, во время которого за 1 с совершается один цикл процесса. Найдем первую и вторую производные по времени от величины s, совершающей гармонические колебания: (4) (5) т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин в формулах (4) и (5) соответственно равны Аω₀ и Аω₀² . Фаза величины в формуле (4) отличается от фазы величины в формуле (1) на π/2, а фаза величины в выражении (5) отличается от фазы величины (1) на π. Значит, в моменты времени, когда s=0, ds/dt имеет наибольшие значения; когда же s становится равным максимальному отрицательному значению, то d²s/dt² равен наибольшему положительному значению (рис. 1).

Рис.1

Из выражения (5) непосредственно вытекает дифференциальное уравнение гармонических колебаний (6) (где s = A cos(ω₀t+φ)). Решением данного дифференциального уравнения является выражение (1). Гармонические колебания графически изображаются методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, которая выбрана на оси х, под углом φ, который равен начальной фазе колебания, откладывается вектор А, у которого модуль равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 2). Если данный вектор привести во вращение с угловой скоростью ω₀, которая равна циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s = Acos(ω₀t+φ). Значит, гармоническое колебание можно представить как проекцию на некоторую выбранную произвольным образом ось вектора амплитуды А, который отложен из произвольной точки оси под углом φ , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω₀ вокруг этой точки.