18 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения.

Проекция производной от вектора на ось неподвижную в данной системе отсчета равна производной от проекции дифиринцируемого вектора на ту же ось.

То есть справедливо равенство q=dp/dt x y z

1. Определение скорости точки. Вектор скорости точки = df/dt следовательно на основании формулы выше учитывая, что Rx =X Ry=Y Rz=Z, получим.

Таким образом проекции скорости точки на координатные оси = первым производным от соответсвующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости найдем ее модуль и направление то есть углы алфа бета гама, которые вектор V образует с осями координат.

Определение ускорения точки

Вектор ускорения точки А= dv/dt

Следовательно на основании формулы выше получаем:

То есть проекции ускорения точки на координатные оси = первым производным от проекции скорости или вторым производным от соответсвующих координат точки по времени.

Модуль и направление ускорения можно найти из формул.

19 Оси естественного трехгранника. Числовое значение скорости.

Рассмотрим вычисление скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения. То есть когда задана траектория точки и закон ее движения вдоль этой траектории. S=F(t).

В этом случае значение векторов V и А определяется по их проекциям на подвижные оси mt mb

Эти оси называются осями естественного трехгранника и направлены ось mt по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния S ось mn по нормали к траектории лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории. Ось mb перпендикулярна первым 2м, так чтобы она образовала с ними правую систему координат.

Нормаль мн лежащая в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью, а перпедикулярная ей нормаль мб – бинормалью.

Скорость точки направленная по касательной к траектории определяется в осях mt mb только одной проекцией vt на ось mt. При этом vt совпадет с модулем скорости v и может отличаться от v только знаком.

Будем далее vt обозначать символом v и называть числовым значением скорости.

Найдем значение v:

Если за промежуток времени deltat точка совершит вдоль дуги траектории движение м м1 = дельта S то численно средней скоростью точки за этот промежуток времени будет V сред = дельта S /дельта t .

Преходя к приделу получим:

V=lim ds/dt = ds/dt= s*

V->0

Числовое значение скорости точки в данный момент времени = первой производной от расстояния S этой точки по времени.

20 Касательная и нормальное ускорение точки.

Как ранее было отмечено ускорение точки А лежит в соприкасающейся плоскости.

То есть в плоскости mtn следовательно проекция вектора А на бинормаль МВ = 0.

Найдем проекцию А на другие оси: обозначим проекции вектора dv.

Вектор dv представляет собой разность между скоростями в двух соседних точках m и m’

Dv= v’-v

Отложим векторы v и v’ от общего начала.

Подставляя найденные значения в выражение для проекции ускорения получим:

Отношение угла dfi к ds определяет кривизну кривой в точке м кривизна К является величиной обратной радиусу кривизны ро.

Таким образом проекция ускорения точки на косательную = первой производной от числового значения скорости или второй производной от расстояния.

Проекция ускорения на главную нормаль = квадрату скорости/ на радиус кривизны траектории в данной точки кривой.

Проекция ускорения на бинормаль равна 0.

T – косательное ускорение точки, а n – нормальное ускорение точки.

Отложим вдоль касательно mt и главной нормали mn векторы mt mn при этом составляющая mn будет всегда направления в сторону вогнутости кривой так как an всегда больше нуля, а состовляющая at может быть направлена как вположительном так и отрицательном направлении.

Вектор ускорения точки А изображается диагональю параллелограмма построенного на составляющих at an.

Так как модуль вектора А и угол mu определяется формулами.