- •1. Первообразная и ее свойства
- •3. Таблица интегралов.
- •2.Неопределенный интеграл и его свойства
- •4.Замена переменной в неопределенном интеграле
- •5. Интегрирование по частям в не опред. Интеграле
- •6. Интегрирование выраж содержащ квадратный трехчлен
- •7.Интегрирование простых правильных дробей
- •9.Интегрирование некоторых классов иррац функций
- •10.Интегрирование тригонометрических выражений
- •11. Определение определенного интеграла и его св-ва
- •12. Интеграл с переменным верхним пределом;производная по верхнему пределу
- •13.Формула Ньютона-Лейбница
- •14.Замена переменной в определенном интеграле
- •15.Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •16.Геометрические приложения определенного интеграла
- •17.Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрир от непрерывных функций.
- •18.Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.
- •19. Диффер уравн: опред, решение уравн, задача Коши, общ и частн решения, геом смысл решений
- •20.Диффер уравнен первого порядка с разделенными и разделяющ переменными
- •21.Лин диффер уравнения 1го порядка(методы Бернулли и Лагранжа, их решения)
- •22.Лин диффер уравн 2го порядка с пост коэфф, структура их общ решения
- •23. Структура решения лин неоднор дифф уравн 2го порядка
- •24.Нахождение частных реш лин неоднор диффер уравн 2го порядка с пост коэфф по виду правой части
- •25. Числовой ряд и его сумма; сход и расход ряды
- •26. Геометрический и гармонический ряды
- •27. Необходимые условия сходимости ряда
- •28.Полож ряды; признаки сравнен их сходимости
- •29.Предельный признак Даламбера
- •30.Предельный признак Коши
- •31.Интегральный признак Маклорена-Коши
- •32.Знакоперемен ряды, абсол и условная сходимости
- •33.Теорема Коши об абсол сход знакоперем ряда
- •34.Признак Лейбница знакочеред рядов
- •35.Теорема Абеля сходимости степенного ряда
- •36.Радиус сходим степенного ряда и его нахождение
- •37. Понятие о рядах Тейлора и Маклорена
- •39.Разложение в ряд Маклорена ф-ции cos X, sin X
28.Полож ряды; признаки сравнен их сходимости
Определение 5. Числовой ряд, все члены которого неотрицательны, т.е. для любого выполняется неравенство , (21) называют положительным рядом . Такие ряды точнее было бы называть рядами с неотрицательными членами, ряды с неположительными членами ( ) путём умножения на (-1) переходят в ряды с неотрицательными членами и, следовательно, можно будет сделать выводы и об их сходимости.
признаки сравнения.
Теорема 3. Пусть даны два положительных ряда
(22) , (23)
причём для всех выполняется неравенство
. (24)Тогда из сходимости ряда (23) следует сходимость ряда (22) (то есть, если сходится ряд с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами); из расходимости ряда (22) следует расходимость ряда (23) (то есть, если расходится ряд с меньшими членами, то ряд с большими членами также расходится). Доказательство. Обозначим частичные суммы рядов (22) и (23), соответственно, через и . Из определения 2 n-й частичной суммы ряда и неравенства (24) следует неравенство
.Пусть ряд (23) сходится; тогда по теореме 2 его частичные суммы ограничены сверху: (необходимое условие). В силу предыдущего неравенства получим, что и , откуда снова по теореме 2 (достаточное условие) следует сходимость ряда (22).
Вторая часть утверждения этой теоремы есть следствие первой. В самом деле, если бы ряд (23) сходился, то согласно первому утверждению сходился бы и ряд (22), что противоречит предположению о его расходимости. Это же утверждение вытекает и из неравенства
Теорема 4. предельный признак сравнения Пусть ряд (22) – положительный, а ряд (23) строго положительный . Если существует конечный, отличный от нуля, предел отношения общих членов этих рядов , (25) то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Если предел (25) существует, то по определению предела числовой последовательности для любого числа найдётся номер N такой, что для всех будет выполняться неравенство
или .Так как по условию теоремы , то для всех будет выполняться неравенство . (26)
Поскольку и предположено, что , то . В силу произвольности числа его можно выбрать таким, чтобы число было положительным ; для этого , может быть, придётся взять сколь угодно малым. Неравенства (26) позволяют применять теорему 3 (первый признак сравнения). Именно, будем сравнивать положительные ряды с членами .Пусть ряд с членами сходится. Так как , то по первому признаку сравнения (теорема 3) ряд с членами сходится, а тогда по свойству 2 сходится и ряд с членами .Пусть теперь сходится ряд с членами . Тогда по свойству 2 сходится ряд с членами . Но так как согласно (26) , то по теореме 3 сходится и ряд с членами .
Итак, сходимость одного из рядов (22) и (23) при влечёт за собой сходимость другого ряда (тем самым, если один из них расходится, то расходится и другой). Теорема доказана.