35.Теорема Абеля сходимости степенного ряда
Для
степенного ряда
(24) имеют место следующие утверждения:
1)
если степенной ряд (24) сходится при
,
то он сходится (притом абсолютно) при
всех
таких, что
;
2)
если ряд расходится при
,
то он расходится при всех
,
для которых
.
Доказательство.
1. По условию теоремы числовой ряд
(27) сходится. Следовательно, по необходимому
признаку сходимости
.
Отсюда следует, что сходящаяся числовая
последовательность
ограничена, т.е. найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
Пусть
,
тогда величина
и, следовательно,
,
т.е. модуль каждого члена ряда (24) не
превосходит соответствующего члена
сходящегося геометрического ряда
.
Поэтому, по первому признаку сравнения
будет сходиться ряд
.
Следовательно, при
ряд (24) сходится абсолютно.
2.
Дано, что ряд расходится в точке
;
нужно доказать, что он расходится для
всех x,
удовлетворяющих неравенству
.
Предположим противное: при некотором
,
удовлетворяющем неравенству
,
степенной ряд сходится. Тогда по первой
части теоремы Абеля ряд будет сходиться
при всех
,
для которых
,
и, в частности, в точке
,
что противоречит условию теоремы.
С геометрической точки зрения в теореме Абеля утверждается следующее:
1)
если ряд (24) сходится в точке
,
то он абсолютно сходится на интервале
;
2)
если ряд (24) расходится в точке
,
то он расходится на луче
,
лежащем левее точки
,
и на луче
,
лежащем правее точки
36.Радиус сходим степенного ряда и его нахождение
Число
R
называется радиусом
сходимости степенного ряда
(24). Промежуток
называется интервалом
сходимости степенного ряда
(24).
В
упоминавшейся ситуации 1) считают, что
(ряд (24) сходится лишь при
);
в ситуации 2) полагают
.
Следовательно, можно считать, что радиус
сходимости удовлетворяет неравенствам
.
Остался
открытым вопрос о сходимости степенного
ряда (24) на концах интервала
,
то есть в точках
.
Общего ответа о сходимости ряда в этих
точках дать нельзя. В этих точках
возможны следующие случаи: 1) ряд
расходится в обеих точках; 2) ряд сходится
в обеих точках (в этом случае область
сходимости ряда обращается в замкнутый
промежуток
;
3) ряд сходится в одной из точек
и расходится в другой. В каждом конкретном
примере надо проводить отдельное
исследование поведения степенного
ряда на концах интервала
.
Для
отыскания интервала сходимости можно
использовать признаки Даламбера или
Коши, применённые к ряду, составленному
из абсолютных величин членов степенного
ряда (24) или
(25), т.е. к ряду
или
.
Для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда можно использовать такие формулы:
,
(28)
.(29)
Они являются следствиями применения признаков Даламбера и Коши при отыскании интервала сходимости
37. Понятие о рядах Тейлора и Маклорена
Ряд
вида
(37)
называется
рядом Маклорена
функции
.
Такой ряд можно образовать для любой бесконечно дифференцируемой функции в точке . Ряд (37) есть степенной ряд по степеням переменной ; его коэффициенты называют коэффициентами Маклорена.
Ряд вида
(38)
называется рядом Тейлора функции .
Ряд
(38) является степенным рядом по степеням
двучлена
и может быть образован для любой
бесконечно дифференцируемой функции
в точке
.
Его коэффициенты называются коэффициентами
Тейлора.
Ряды (37) и (38) имеют данное название независимо от того, в какой области они сходятся и является ли функция , которая задаёт коэффициенты этих рядов, их суммой.
Ряд
(37) является частным случаем ряда (38)
((37) получается из (38) при
)
38.разложение в ряд Маклорена ex и ln(1+x)
